Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : suites arithmétiques

Définition par récurrence et raison, terme général uₙ = u₀ + nr démontré, sens de variation et points alignés, somme 1 + 2 + … + n et somme de termes consécutifs, évolutions à accroissement constant et seuils.

Télécharger la fiche PDF

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Première

Suites arithmétiques

Fiche méthode

(Spécialité maths 1re · Suites numériques, modèles discrets)

La démarche face à une suite arithmétique

1. Je justifie la nature de la suite : $u_{n + 1} - u_{n}$ constante, ou accroissement constant dans l’énoncé.

2. J’écris le terme général $u_{n} = u_{0} + n r$ (ou $u_{1} + (n - 1) r$ ), en vérifiant le rang de départ.

3. Je réponds à la question : signe de $r$ pour les variations, formule de somme, inéquation pour un seuil.

4. Je contrôle sur un ou deux termes calculés à la main, puis je conclus dans le contexte.

Le réflexe — « la différence ne dépend pas de

n

» est la phrase qui prouve qu’une suite est arithmétique : quelques termes calculés ne suffisent jamais.

Cas 1 · Démontrer qu’une suite est arithmétique

Réflexe — je calcule uₙ₊₁ − uₙ pour n quelconque, je simplifie ; constante = arithmétique ; deux écarts différents = pas arithmétique.

Exemple. Questions types : « Montrer que $(w_{n})$ est arithmétique, en donnant sa raison et $w_{0}$ . » Exemple : $w_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2}$ .

On développe : $w_{n} = n^{2} + 2 n + 1 - n^{2} = 2 n + 1$ .

Pour tout $n$ : $w_{n + 1} - w_{n} = 2 (n + 1) + 1 - (2 n + 1) = 2$ .

La différence est constante : $(w_{n})$ est arithmétique de raison $2$ , de premier terme $w_{0} = 1$ .

Attention — trois écarts égaux ne prouvent rien ; une « raison » qui dépend de n n’en est pas une.

Cas 2 · Trouver le terme général

Réflexe — uₙ = uₚ + (n − p)r ; avec deux termes : r = (u_q − uₚ)/(q − p), puis u₀ = uₚ − pr.

Exemple. Questions types : « Déterminer la raison et le premier terme », « Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ ». Exemple : $u_{3} = 19$ et $u_{10} = 47$ .

$u_{10} = u_{3} + 7 r$ : $47 = 19 + 7 r$ , donc $7 r = 28$ et $r = 4$ .

$u_{0} = u_{3} - 3 r = 19 - 12 = 7$ .

Donc $u_{n} = 7 + 4 n$ ; contrôle : $u_{10} = 7 + 40 = 47$ .

Attention — suite qui commence au rang 1 : uₙ = u₁ + (n − 1)r, pas u₁ + nr.

1 / 2

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Première

Cas 3 · Sens de variation

Réflexe — uₙ₊₁ − uₙ = r : je conclus avec le signe de r ; les points (n ; uₙ) sont sur y = rx + u₀.

Exemple. Questions types : « Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ », « Sur quelle droite sont les points ? ». Exemple : $u_{0} = - 6$ et $u_{n + 1} = u_{n} + \frac{3}{4}$ .

Pour tout $n$ , $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{3}{4}$ : la suite est arithmétique de raison $\frac{3}{4}$ .

Comme $\frac{3}{4} > 0$ , $(u_{n})$ est strictement croissante.

$u_{n} = - 6 + \frac{3}{4} n$ : les points $(n; u_{n})$ sont sur la droite d’équation $y = \frac{3}{4} x - 6$ .

Attention — le signe de u₀ ne compte pas, seul le signe de r décide.

Cas 4 · Calculer une somme

Réflexe — premier terme, dernier terme, nombre de termes (q − p + 1), puis nombre × (premier + dernier)/2.

Exemple. Questions types : « Calculer $S = u_{p} + \dots + u_{q}$ ». Exemple : $t_{n} = 1 + 2, 5 n$ et $S = t_{5} + t_{6} + \dots + t_{24}$ .

Premier terme : $t_{5} = 1 + 12, 5 = 13, 5$ ; dernier terme : $t_{24} = 1 + 60 = 61$ .

Nombre de termes : $24 - 5 + 1 = 20$ .

$S = 20 \times \frac{13, 5 + 61}{2} = 20 \times 37, 25 = 745$ .

Attention — de u₀ à uₙ il y a n + 1 termes ; n(n + 1)/2 ne vaut que pour 1 + 2 + … + n.

Cas 5 · Problème de seuil

Réflexe — uₙ en fonction de n, inéquation, plus petit entier (arrondi par excès), vérification sur deux termes, phrase de conclusion.

Exemple. Questions types : « À partir de quand… ? », « Au bout de combien de jours… ? ». Exemple : une cuve contient $1 200$ L et perd $35$ L par jour.

$v_{n} = 1 200 - 35 n$ . On cherche $v_{n} < 300$ : $1 200 - 35 n < 300 ⟺ 35 n > 900 ⟺ n > 25, 71 \dots$

Le plus petit entier est $26$ . Vérification : $v_{25} = 325$ et $v_{26} = 290$ .

La cuve passe sous $300$ L au bout de $26$ jours.

Attention — arrondir par excès, pas au plus proche ; vérifier si l’inégalité est stricte ou large.

Les pièges

Rang de départ : si la suite commence à u₁, uₙ = u₁ + (n − 1)r.
Nombre de termes : de uₚ à u_q, il y a q − p + 1 termes, pas q − p.
Quelques termes ne prouvent rien : il faut uₙ₊₁ − uₙ pour tout n.
Seuil : n > 25,71 donne n = 26 ; on vérifie avec les deux termes qui encadrent le seuil.
Une hausse de 2 % par an n’est pas un accroissement constant : la suite n’est pas arithmétique.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

2 / 2

À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à une suite arithmétique, puis, pour chacun des cinq cas du cours, une question type et sa réponse rédigée : prouver qu’une suite est arithmétique, retrouver la raison à partir de deux termes, étudier les variations, calculer une somme, résoudre un seuil. Elle se termine par les pièges du rang de départ et du nombre de termes.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Soutien scolaire à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs