Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Formulaire : second degré

Trinôme et parabole, formes développée, canonique et factorisée, sommet et variations, discriminant et résolution de ax² + bx + c = 0, factorisation, somme et produit des racines, racine évidente.

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benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Première

Second degré

Fiche tableaux : les résultats à connaître

(Spécialité maths 1re)

Les trois formes d’un trinôme

Forme	Écriture	Ce qu’on y lit
développée	$a x^{2} + b x + c$	$f (0) = c$ , calcul de $Δ$
canonique	$a (x - α)^{2} + β$	sommet $S (α; β)$ , extremum, variations
factorisée	$a (x - x_{1}) (x - x_{2})$	racines $x_{1}$ , $x_{2}$

Exemple : $- x^{2} + 2 x + 3 = - (x - 1)^{2} + 4$ $= - (x + 1) (x - 3)$ .

Sommet et variations

	$a > 0$	$a < 0$
parabole	tournée vers le haut	tournée vers le bas
sur $] - \infty; α]$	décroissante	croissante
sur $[α; + \infty [$	croissante	décroissante
en $α = - \frac{b}{2 a}$	minimum $β = f (α)$	maximum $β = f (α)$

Exemple : $- 4 (x + 1)^{2} + 7$ admet un maximum égal à $7$ , atteint en $- 1$ .

Discriminant : solutions et factorisation

$Δ$	solutions de $a x^{2} + b x + c = 0$	factorisation
$Δ > 0$	$\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ et $\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$	$a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
$Δ = 0$	$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$	$a (x - x_{0})^{2}$
$Δ < 0$	aucune	impossible

La parabole coupe l’axe des abscisses en deux points si $Δ > 0$ , le touche en son sommet si $Δ = 0$ , ne le rencontre pas si $Δ < 0$ .

Exemples : $x^{2} + 4 x + 3$ ( $Δ = 4$ , racines $- 3$ et $- 1$ ) ; $x^{2} - 8 x + 16 = (x - 4)^{2}$ ( $Δ = 0$ ) ; $x^{2} + 2 x + 3$ ( $Δ = - 8$ ).

Somme, produit, racine évidente

Si $Δ ⩾ 0$	Somme	Produit
racines de $a x^{2} + b x + c$	$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$	$x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$
nombres de somme $S$ , de produit $P$	solutions de $x^{2} - S x + P = 0$
racine évidente	$1$ si $a + b + c = 0$ ; $- 1$ si $a - b + c = 0$

Exemple : $x^{2} - 5 x + 6$ a pour racines $2$ et $3$ : somme $5$ , produit $6$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision du second degré en tableaux : les trois formes d’un trinôme et ce que chacune donne, le sens de variation selon le signe de a, les solutions et la factorisation selon le signe du discriminant, la somme et le produit des racines avec le test de la racine évidente. Chaque tableau a son exemple, et la fiche se télécharge en PDF.

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