Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Second degré

Polynômes du second degré, forme canonique, discriminant, signe du trinôme et somme-produit des racines — programme de 1re Spé Maths (BO 2026)

Le second degré, c'est savoir lire une parabole, résoudre $a x^{2} + b x + c = 0$ avec le discriminant, factoriser un trinôme et en déterminer le signe : la base de toute la 1re et de la Terminale.

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Définitions

Trinôme : $f (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq 0$ (forme développée).
Parabole : courbe de $f$ , tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ ; axe de symétrie $x = α$ ; sommet $S (α; β)$ .
Racine : réel $x$ tel que $f (x) = 0$ (abscisse d'un point commun avec l'axe des abscisses).
Discriminant : $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Formules

Forme canonique : $f (x) = a (x - α)^{2} + β$ , $α = - \frac{b}{2 a}$ , $β = f (α) = - \frac{Δ}{4 a}$ .
Racines : si $Δ > 0$ , $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ ; si $Δ = 0$ , $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ ; si $Δ < 0$ , aucune.
Forme factorisée : $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ si $Δ > 0$ ; $a (x - x_{0})^{2}$ si $Δ = 0$ .
Somme et produit : $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ; deux nombres de somme $S$ et produit $P$ sont solutions de $t^{2} - S t + P = 0$ .

Signe et variations

Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe de $- a$ entre les racines, nul aux racines.
Si $Δ < 0$ : signe de $a$ pour tout $x$ .
$a > 0$ : décroissante puis croissante, minimum $β$ en $α$ . $a < 0$ : croissante puis décroissante, maximum $β$ en $α$ .

Méthodes

Équation : tout ramener à $a x^{2} + b x + c = 0$ ; chercher une factorisation évidente ; sinon $Δ$ , puis conclure selon son signe.
Inéquation : racines, tableau de signes (signe de $a$ à l'extérieur), lecture des solutions avec les bons crochets.
Extremum : $α = - \frac{b}{2 a}$ , $β = f (α)$ , nature selon le signe de $a$ .
Racine évidente : tester $0$ , $1$ , $- 1$ , $2$ ; l'autre racine vaut $\frac{c}{a}$ divisé par la première.

Pièges

$b^{2}$ est toujours positif : $(- 5)^{2} = 25$ . Et $- 4 a c > 0$ si $a$ et $c$ sont de signes contraires.
Ne pas oublier le facteur $a$ dans $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
Ne jamais diviser par $x$ : factoriser.
Quand $a < 0$ , $\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ est la plus grande racine.
Une équation quotient a des valeurs interdites : les vérifier à la fin.

L'essentiel

Un trinôme $a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq 0$ ) se représente par une parabole de sommet $S (α; β)$ avec $α = - \frac{b}{2 a}$ .
$Δ = b^{2} - 4 a c$ : deux racines si $Δ > 0$ , une racine double si $Δ = 0$ , aucune si $Δ < 0$ .
Si $Δ > 0$ , les racines sont $\frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ et $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe de $- a$ entre elles.
Somme des racines $- \frac{b}{a}$ , produit $\frac{c}{a}$ : à utiliser pour trouver la seconde racine ou vérifier.

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