Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : second degré et équations

Trinôme et parabole, formes développée, canonique et factorisée, sommet et variations, discriminant et résolution de ax² + bx + c = 0, factorisation, somme et produit des racines, racine évidente.

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benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Première

Second degré : formes, équations, factorisation

Fiche méthode

(Spécialité maths 1re · Algèbre · Second degré)

La démarche face à un trinôme

1. J’écris le trinôme sous la forme $a x^{2} + b x + c$ (tout dans un membre, réduit) et je repère $a$ , $b$ , $c$ avec leurs signes.

2. Je choisis la forme utile : développée pour $f (0)$ ou $f (x) = c$ , canonique pour le sommet et les variations, factorisée pour $f (x) = 0$ .

3. Je cherche un raccourci : $b = 0$ ou $c = 0$ (factorisation directe), racine évidente $1$ ou $- 1$ . Sinon, je calcule $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

4. Je conclus et je contrôle : ensemble des solutions, forme développée retrouvée, somme des racines égale à $- \frac{b}{a}$ .

Le réflexe — une résolution se termine toujours par l’ensemble des solutions S = {…} ; une forme canonique ou factorisée se justifie en développant.

Cas 1 · Choisir la bonne forme

Réflexe — f(0) ou f(x) = c : forme développée ; sommet, extremum : forme canonique ; f(x) = 0 : forme factorisée.

Exemple. Questions types : « Vérifier que $f (x) = \dots$ », « Choisir la forme adaptée pour résoudre… ». Exemple : $f (x) = - x^{2} - 4 x + 12$ $= - (x + 2)^{2} + 16 = - (x - 2) (x + 6)$ ; résoudre $f (x) = 12$ , puis $f (x) = 0$ .

Vérification : $- (x + 2)^{2} + 16$ $= - (x^{2} + 4 x + 4) + 16$ $= - x^{2} - 4 x + 12$ et $- (x - 2) (x + 6) = - (x^{2} + 4 x - 12)$ $= - x^{2} - 4 x + 12$ .

$f (x) = 12$ : forme développée, $- x^{2} - 4 x = 0 ⟺ - x (x + 4) = 0$ , donc $𝒮 = {- 4; 0}$ .

$f (x) = 0$ : forme factorisée, produit nul, $𝒮 = {- 6; 2}$ . Et la forme canonique donne le maximum $16$ , atteint en $- 2$ .

Attention — le coefficient a est le même dans les trois formes : on ne le perd pas en route.

Cas 2 · Forme canonique et sommet

Réflexe — α = −b/(2a), β = f(α), puis f(x) = a(x − α)² + β ; signe de a pour minimum ou maximum.

Exemple. Questions types : « Déterminer la forme canonique », « Dresser le tableau de variations ». Exemple : $f (x) = 2 x^{2} - 20 x + 47$ .

$α = - \frac{- 20}{2 \times 2} = 5$ et $β = f (5) = 50 - 100 + 47 = - 3$ .

Donc $f (x) = 2 (x - 5)^{2} - 3$ . Contrôle : $2 (x^{2} - 10 x + 25) - 3$ $= 2 x^{2} - 20 x + 47$ .

$a = 2 > 0$ : $f$ est décroissante sur $] - \infty; 5]$ , croissante sur $[5; + \infty [$ , de minimum $- 3$ en $5$ . Sommet $S (5; - 3)$ .

Attention — dans a(x + 4)² + β, α vaut −4 : on lit x − (−4).

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Cas 3 · Résoudre ax² + bx + c = 0

Réflexe — tout dans un membre ; Δ = b² − 4ac avec parenthèses ; conclure selon le signe de Δ.

Exemple. Questions types : « Résoudre dans $ℝ$ », « Combien de solutions ? ». Exemple : $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ .

$a = 3$ , $b = - 4$ , $c = - 2$ : $Δ = (- 4)^{2} - 4 \times 3 \times (- 2) = 16 + 24$ $= 40 > 0$ .

$\sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$ , donc $x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{3}$ .

$𝒮 = {\frac{2 - \sqrt{10}}{3}; \frac{2 + \sqrt{10}}{3}}$ .

Attention — (−4)² = 16, pas −16 ; et on ne divise pas par x.

Cas 4 · Factoriser un trinôme

Réflexe — racines par Δ, puis a(x − x₁)(x − x₂) ; contrôle en développant.

Exemple. Questions types : « Factoriser $f (x)$ », « Simplifier un quotient ». Exemple : $3 x^{2} + 10 x - 8$ .

$Δ = 100 + 96 = 196$ , $\sqrt{196} = 14$ : racines $\frac{- 10 - 14}{6} = - 4$ et $\frac{- 10 + 14}{6} = \frac{2}{3}$ .

$3 x^{2} + 10 x - 8 = 3 (x + 4) (x - \frac{2}{3})$ $= (x + 4) (3 x - 2)$ .

Contrôle : $(x + 4) (3 x - 2)$ $= 3 x^{2} - 2 x + 12 x - 8$ $= 3 x^{2} + 10 x - 8$ .

Attention — si Δ < 0, on écrit « pas de factorisation », pas une forme canonique déguisée.

Cas 5 · Racine évidente, somme et produit

Réflexe — tester 1 (a + b + c = 0) et −1 (a − b + c = 0) ; l’autre racine par c/a ; contrôle par −b/a.

Exemple. Questions types : « Vérifier que … est solution ; en déduire l’autre », « Trouver deux nombres de somme… et de produit… ». Exemple : $5 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ .

$a - b + c = 5 - 3 - 2 = 0$ : $- 1$ est solution.

Produit des solutions : $\frac{c}{a} = - \frac{2}{5}$ , donc l’autre solution vaut $\frac{2}{5}$ .

Contrôle : $- 1 + \frac{2}{5} = - \frac{3}{5} = - \frac{b}{a}$ . $𝒮 = {- 1; \frac{2}{5}}$ .

Attention — somme et produit ne décrivent des racines que si Δ ≥ 0 ; l’équation est x² − Sx + P = 0.

Les pièges

Carré d’un négatif : pour b = −6, b² = 36 ; à la calculatrice, taper (−6)².
Oublier a dans la factorisation : 3x² + x − 2 = (x + 1)(3x − 2), pas (x + 1)(x − 2/3).
Signe de α : dans 2(x + 1)² + 5, le sommet est (−1 ; 5).
Diviser par x fait perdre la solution 0 : on factorise x(…) = 0.
Calculer Δ avant d’avoir tout passé dans un même membre.
Équation à paramètre : vérifier que le coefficient de x² n’est pas nul.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche à suivre devant un trinôme du second degré, puis, pour chacun des cinq cas du cours, une question type et sa réponse rédigée : choisir la bonne forme, trouver la forme canonique, résoudre avec le discriminant, factoriser, utiliser une racine évidente. Elle finit par six pièges classiques, dont le carré d’un nombre négatif.

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