Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : indépendance et épreuves répétées

Événements indépendants et lien avec la probabilité conditionnelle, indépendance des événements contraires, succession de deux épreuves indépendantes, épreuve de Bernoulli répétée n ⩽ 4 fois : arbre, exactement k succès, au moins un succès.

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benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Première

Indépendance et épreuves répétées

Fiche méthode

(Spécialité maths 1re · Probabilités · Indépendance)

La démarche face à un exercice d’indépendance

1. Je nomme les événements (lettres, contraires) et je relève ce que donne l’énoncé : probabilités, effectifs, « indépendamment », « avec remise ».

2. Je décide si j’ai le droit de multiplier : indépendance donnée, épreuves indépendantes par la situation, ou indépendance à démontrer par le test du produit.

3. Je traduis la question : « aucun », « au moins un », « un seul », « exactement $k$ », « au plus » ; je passe par le contraire quand il est plus court.

4. Je calcule et je contrôle : chemins de l’arbre, somme des probabilités égale à $1$ , résultat entre $0$ et $1$ .

Le réflexe — chaque produit de probabilités se justifie par une phrase (« car

A

B

sont indépendants », « les tirages se font avec remise ») : sans elle, le calcul ne rapporte pas tous les points.

Cas 1 · Démontrer que deux événements sont (ou non) indépendants

Réflexe — je calcule P(A), P(B) et P(A ∩ B), puis le produit P(A) × P(B), et je compare.

Exemple. Questions types : « $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier. » Exemple : $P (A) = 0, 45$ , $P (B) = 0, 4$ et $P (A \cap B) = 0, 18$ .

On calcule le produit : $P (A) \times P (B) = 0, 45 \times 0, 4 = 0, 18$ .

On compare : $P (A) \times P (B) = P (A \cap B)$ .

Conclusion : les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Attention — « indépendants » ne veut pas dire « incompatibles » : P(A ∩ B) = 0 signifie incompatibles.

Cas 2 · Calculer « au moins un » ou « aucun » avec des contraires

Réflexe — Ā et B̄ sont indépendants : P(Ā ∩ B̄) = P(Ā) × P(B̄), puis P(A ∪ B) = 1 − P(Ā ∩ B̄).

Exemple. Questions types : « Calculer la probabilité qu’au moins un des deux événements se réalise. » Exemple : $A$ et $B$ indépendants, $P (A) = 0, 25$ et $P (B) = 0, 7$ .

Par indépendance, $P (A \cap B) = 0, 25 \times 0, 7 = 0, 175$ .

Donc $P (A \cup B)$ $= 0, 25 + 0, 7 - 0, 175$ $= 0, 775$ .

Contrôle par les contraires, indépendants eux aussi : $1 - 0, 75 \times 0, 3 = 1 - 0, 225 = 0, 775$ .

Attention — P(A ∪ B) ≠ P(A) + P(B) dès que A et B peuvent se produire ensemble.

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Cas 3 · Deux épreuves indépendantes

Réflexe — je justifie l’indépendance par la situation, je dessine l’arbre (mêmes probabilités au second niveau) et j’additionne les chemins utiles.

Exemple. Questions types : « Construire l’arbre », « Calculer la probabilité qu’exactement un des deux… ». Exemple : un bus est à l’heure avec la probabilité $0, 8$ , un train avec la probabilité $0, 9$ , indépendamment.

« Exactement un à l’heure » : deux chemins, (bus à l’heure, train en retard) et (bus en retard, train à l’heure).

Probabilité : $0, 8 \times 0, 1 + 0, 2 \times 0, 9$ $= 0, 08 + 0, 18$ $= 0, 26$ .

Attention — « un et un seul » correspond à deux chemins : l’ordre des épreuves compte.

Cas 4 · Exactement k succès (n ⩽ 4)

Réflexe — je compte les chemins à k succès, je calcule pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ et je multiplie.

Exemple. Questions types : « Calculer la probabilité d’obtenir exactement $k$ succès. » Exemple : $n = 3$ , $p = 0, 25$ , $k = 1$ .

Trois chemins comportent un seul succès : $S \overset{―}{S} \overset{―}{S}$ , $\overset{―}{S} S \overset{―}{S}$ , $\overset{―}{S} \overset{―}{S} S$ .

Chacun a pour probabilité $0, 25 \times 0, 75^{2} = 0, 140625$ .

Probabilité cherchée : $3 \times 0, 140625 = 0, 421875$ .

Attention — oublier des chemins : « deux succès sur trois » correspond à trois chemins.

Cas 5 · Au moins un succès, au plus, paramètre

Réflexe — au moins un = 1 − (1 − p)ⁿ ; au plus k = somme des cas de 0 à k ; une probabilité connue donne une équation en p.

Exemple. Questions types : « Probabilité d’au moins un succès », « Déterminer $p$ ». Exemple : $n = 4$ , $p = 0, 1$ .

Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès » : un seul chemin, de probabilité $0, 9^{4} = 0, 6561$ .

Donc $P (au moins un succès) = 1 - 0, 6561 = 0, 3439$ .

Attention — n × p n’est pas une probabilité : il peut dépasser 1.

Les pièges

Multiplier P(A) × P(B) sans avoir l’indépendance (donnée ou démontrée).
Confondre indépendants (P(A ∩ B) = P(A)P(B)) et incompatibles (P(A ∩ B) = 0).
Tirages sans remise : les épreuves ne sont pas indépendantes.
P(Ā ∩ B̄) n’est pas 1 − P(A ∩ B) : c’est 1 − P(A ∪ B).
Écrire p pour l’échec : sa probabilité est 1 − p.
« Au moins deux sur trois » = deux ou trois succès : ne pas oublier le cas « trois ».

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à un exercice d’indépendance, puis, pour chacun des cinq cas du cours, les questions types de l’épreuve anticipée et une réponse rédigée : test du produit, « au moins un » par les contraires, deux épreuves indépendantes, exactement k succès, au moins un succès. Elle se termine par les pièges classiques, comme confondre indépendants et incompatibles.

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