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Indépendance et répétition d'épreuves

Événements indépendants, indépendance et événements contraires, succession de deux épreuves indépendantes, épreuve de Bernoulli, répétition d'épreuves identiques et indépendantes (arbres, n ≤ 4)

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Indépendance et répétition d'épreuves » en première permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de première et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, Reconnaître deux événements indépendants, Indépendance et événements contraires, Succession de deux épreuves indépendantes. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en première.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Contrôle qualité en deux étapes

Moyen

Une entreprise fabrique des plateaux en deux étapes : découpe, puis peinture. Un plateau présente un défaut de découpe ( $D$ ) avec une probabilité de $0, 03$ et un défaut de peinture ( $E$ ) avec une probabilité de $0, 05$ . Les deux étapes sont réalisées par des équipes différentes ; on admet que $D$ et $E$ sont indépendants. On choisit un plateau au hasard dans la production.

1. Calculer la probabilité que le plateau présente les deux défauts.
2. Calculer la probabilité que le plateau ne présente aucun défaut.
3. a) En déduire la probabilité que le plateau présente au moins un défaut.
3. b) Calculer la probabilité qu'il présente exactement un défaut.
4. Le responsable affirme : « $3 % + 5 % = 8 %$ des plateaux ont au moins un défaut. » Expliquer son erreur.
5. On prélève trois plateaux ; la production est assez importante pour assimiler ce prélèvement à trois tirages indépendants. Calculer, à $10^{- 4}$ près, la probabilité que les trois soient sans défaut.
6. En déduire la probabilité qu'au moins un des trois plateaux présente un défaut.

1. $D$ et $E$ sont indépendants : $P (D \cap E) = 0, 03 \times 0, 05 =$ $0, 0015$ .

2. « Aucun défaut » $= \overset{―}{D} \cap \overset{―}{E}$ . Les contraires de deux événements indépendants sont indépendants, donc $P (\overset{―}{D} \cap \overset{―}{E}) = 0, 97 \times 0, 95 =$ $0, 9215$ .

3. a) « Au moins un défaut » est le contraire de « aucun défaut » : $1 - 0, 9215 =$ $0, 0785$ .

3. b) On retire les plateaux ayant les deux défauts : $0, 0785 - 0, 0015 =$ $0, 077$ .
Contrôle : $P (D \cap \overset{―}{E}) + P (\overset{―}{D} \cap E) = 0, 03 \times 0, 95 + 0, 97 \times 0, 05 = 0, 0285 + 0, 0485 = 0, 077$ .

4. Additionner $P (D)$ et $P (E)$ revient à compter deux fois les plateaux qui ont les deux défauts. La formule correcte est $P (D \cup E) = P (D) + P (E) - P (D \cap E) = 0, 08 - 0, 0015 = 0, 0785$ , soit $7, 85 %$ et non $8 %$ . L'addition simple n'est valable que pour des événements incompatibles, ce que $D$ et $E$ ne sont pas.

5. Chaque plateau est « sans défaut » avec la probabilité $0, 9215$ ; les trois tirages sont indépendants, donc on multiplie le long du chemin : $0, 9215^{3} = 0, 84916225 \times 0, 9215 \approx 0, 782503$ . La probabilité est $\approx 0, 7825$ .

6. Événement contraire : $1 - 0, 782503 \approx$ $0, 2175$ . Un peu plus d'un prélèvement sur cinq ( $21, 75 %$ ) contient donc au moins un plateau défectueux.

Problème 2 — La roue et le dé tétraédrique

Moyen

À une fête, un joueur fait tourner une roue qui s'arrête sur rouge ( $R$ ) avec la probabilité $0, 25$ , sur vert ( $V$ ) avec la probabilité $0, 35$ et sur bleu ( $B$ ) avec la probabilité $0, 4$ . Il lance ensuite un dé tétraédrique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 4. On note $Q$ : « le dé donne 4 » et $N$ : « le dé donne un nombre pair ». Le joueur gagne ( $G$ ) s'il obtient « rouge et 4 » ou « vert et un nombre pair ». Les résultats seront arrondis au dix-millième si nécessaire.

1. Expliquer pourquoi les deux épreuves sont indépendantes et décrire l'arbre pondéré de l'expérience.
2. Calculer $P (R \cap Q)$ et $P (V \cap N)$ .
3. Montrer que $P (G) = 0, 2375$ .
4. Les événements $R$ et $G$ sont-ils indépendants ? Interpréter.
5. Le joueur fait deux parties indépendantes. Calculer la probabilité qu'il gagne les deux parties, puis qu'il en gagne au moins une.
6. Calculer la probabilité qu'il gagne exactement une partie.

1. Le résultat de la roue n'a aucune influence sur le dé : les épreuves sont indépendantes. Premier niveau : $R$ (0,25), $V$ (0,35), $B$ (0,4). Second niveau, identique sur les trois branches : 1, 2, 3, 4, chacun de probabilité $0, 25$ .

2. Par indépendance : $P (R \cap Q) = 0, 25 \times 0, 25 =$ $0, 0625$ . Le dé donne un nombre pair (2 ou 4) avec la probabilité $0, 5$ , donc $P (V \cap N) = 0, 35 \times 0, 5 =$ $0, 175$ .

3. Les deux façons de gagner sont incompatibles (la roue ne peut pas être à la fois rouge et verte). Donc $P (G) = 0, 0625 + 0, 175 = 0, 2375$ . C'est le résultat demandé.

4. $R \cap G = R \cap Q$ , donc $P (R \cap G) = 0, 0625$ . Or $P (R) \times P (G) = 0, 25 \times 0, 2375 = 0, 059375$ . Ces nombres diffèrent : $R$ et $G$ ne sont pas indépendants. En effet $P_{R} (G) = \frac{0, 0625}{0, 25} = 0, 25 > 0, 2375$ : obtenir rouge augmente légèrement les chances de gagner. Les épreuves sont indépendantes, mais cela ne rend pas indépendants tous les événements qu'on en tire.

5. Chaque partie est une épreuve de Bernoulli de paramètre $0, 2375$ , répétée deux fois de façon indépendante.
Deux victoires : $0, 2375^{2} = 0, 05640625 \approx$ $0, 0564$ .
Aucune victoire : $0, 7625^{2} = 0, 58140625$ ; donc au moins une victoire : $1 - 0, 58140625 \approx$ $0, 4186$ .

6. Deux chemins ( $G \overset{―}{G}$ et $\overset{―}{G} G$ ), chacun de probabilité $0, 2375 \times 0, 7625 = 0, 18109375$ : total $0, 3621875 \approx$ $0, 3622$ . Contrôle : $0, 4186 - 0, 0564 = 0, 3622$ .

Problème 3 — Répondre au hasard à un QCM

Difficile

Un questionnaire comporte 4 questions ; pour chacune, 3 propositions sont données dont une seule est exacte. Un candidat qui n'a pas révisé répond à chaque question en choisissant une proposition au hasard, indépendamment d'une question à l'autre. Les probabilités seront données sous forme de fractions.

1. Justifier que la situation est une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; préciser le paramètre et le nombre de chemins de l'arbre.
2. Calculer la probabilité que toutes les réponses soient fausses, puis que toutes soient justes.
3. Calculer la probabilité d'obtenir exactement une réponse juste.
4. Montrer que la probabilité d'obtenir exactement deux réponses justes est $\frac{8}{27}$ .
5. Le questionnaire est réussi avec au moins 3 réponses justes. Calculer la probabilité de réussite du candidat.
6. Le candidat raisonne ainsi : « J'ai une chance sur trois par question et 4 questions, donc $4 \times \frac{1}{3} > 1$ : j'aurai forcément au moins une bonne réponse. » Expliquer l'erreur et donner la bonne probabilité.
7. Un second candidat sait éliminer à chaque question une proposition fausse, puis choisit au hasard entre les deux restantes. Calculer sa probabilité de réussite et comparer.

1. Chaque question est une épreuve à deux issues : succès « réponse juste », de probabilité $p = \frac{1}{3}$ (une proposition sur trois choisie au hasard), et échec, de probabilité $\frac{2}{3}$ . Cette épreuve est répétée 4 fois, de façon identique et indépendante. L'arbre comporte $2^{4} =$ 16 chemins.

2. Toutes fausses : un seul chemin, ${(\frac{2}{3})}^{4} =$ $\frac{16}{81}$ . Toutes justes : ${(\frac{1}{3})}^{4} =$ $\frac{1}{81}$ .

3. Quatre chemins comportent un seul succès (la bonne réponse est à la 1re, 2e, 3e ou 4e question). Chacun vaut $\frac{1}{3} \times {(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{8}{81}$ . Total : $4 \times \frac{8}{81} =$ $\frac{32}{81}$ .

4. Les chemins à deux succès sont : $S S \overset{―}{S} \overset{―}{S}$ , $S \overset{―}{S} S \overset{―}{S}$ , $S \overset{―}{S} \overset{―}{S} S$ , $\overset{―}{S} S S \overset{―}{S}$ , $\overset{―}{S} S \overset{―}{S} S$ , $\overset{―}{S} \overset{―}{S} S S$ , soit 6 chemins. Chacun vaut ${(\frac{1}{3})}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{81}$ . Total : $\frac{24}{81} = \frac{8}{27}$ . C'est le résultat annoncé.

5. Exactement trois justes : 4 chemins de probabilité ${(\frac{1}{3})}^{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{81}$ , soit $\frac{8}{81}$ . Avec les quatre justes : $\frac{8}{81} + \frac{1}{81} = \frac{9}{81} =$ $\frac{1}{9} \approx 0, 111$ .
Contrôle général : $\frac{16 + 32 + 24 + 8 + 1}{81} = 1$ .

6. Additionner les probabilités n'a de sens que pour des événements incompatibles ; « juste à la question 1 » et « juste à la question 2 » peuvent se produire ensemble. Le résultat $\frac{4}{3} > 1$ n'est d'ailleurs pas une probabilité. La bonne démarche passe par le contraire : $P (au moins une juste) = 1 - \frac{16}{81} =$ $\frac{65}{81} \approx 0, 802$ . Le candidat a donc environ une chance sur cinq de n'avoir aucune bonne réponse.

7. Le paramètre devient $\frac{1}{2}$ ; chaque chemin a pour probabilité $\frac{1}{16}$ . Au moins 3 justes : 4 chemins à trois succès et 1 chemin à quatre succès, soit $\frac{5}{16} = 0, 3125$ . Le second candidat réussit avec une probabilité près de trois fois plus grande ( $0, 3125$ contre $0, 111$ ).

Problème 4 — Télétravail et vélo : une enquête

Difficile

Une entreprise compte 500 salariés : 200 sont en télétravail partiel ( $T$ ) et 150 viennent au travail à vélo ( $W$ ). On note $x$ le nombre de salariés qui sont à la fois en télétravail partiel et cyclistes. On choisit un salarié au hasard.

1. Donner $P (T)$ , $P (W)$ et exprimer $P (T \cap W)$ en fonction de $x$ .
2. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $T$ et $W$ sont indépendants.
3. Dans ce cas, calculer $P_{T} (W)$ et $P_{\overset{―}{T}} (W)$ , puis interpréter.
4. Toujours dans ce cas, montrer par un calcul d'effectifs que $\overset{―}{T}$ et $\overset{―}{W}$ sont indépendants.
5. L'enquête donne en réalité $x = 45$ . Les événements sont-ils indépendants ? Que peut-on dire des télétravailleurs ?
6. a) On revient au cas d'indépendance. On interroge successivement 3 salariés choisis au hasard, avec remise. Calculer la probabilité qu'exactement un d'entre eux soit à la fois télétravailleur et cycliste (à $10^{- 4}$ près).
6. b) Calculer la probabilité qu'au moins un d'entre eux le soit.

1. $P (T) = \frac{200}{500} = 0, 4$ ; $P (W) = \frac{150}{500} = 0, 3$ ; $P (T \cap W) = \frac{x}{500}$ .

2. $T$ et $W$ indépendants $⟺ \frac{x}{500} = 0, 4 \times 0, 3 = 0, 12 ⟺ x = 60$ . Cette valeur est compatible avec les effectifs ( $60 ⩽ 150$ ). $x = 60$ .

3. $P_{T} (W) = \frac{60}{200} = 0, 3$ ; parmi les 300 salariés hors télétravail, $150 - 60 = 90$ sont cyclistes, donc $P_{\overset{―}{T}} (W) = \frac{90}{300} = 0, 3$ . La proportion de cyclistes est la même chez les télétravailleurs et chez les autres : elle vaut $P (W)$ , ce qui traduit l'indépendance.

4. Salariés dans $T \cup W$ : $200 + 150 - 60 = 290$ . Donc $\overset{―}{T} \cap \overset{―}{W}$ compte $500 - 290 = 210$ salariés, et $P (\overset{―}{T} \cap \overset{―}{W}) = \frac{210}{500} = 0, 42$ . Or $P (\overset{―}{T}) \times P (\overset{―}{W}) = 0, 6 \times 0, 7 = 0, 42$ . $\overset{―}{T}$ et $\overset{―}{W}$ sont indépendants, conformément à la propriété du cours.

5. $P (T \cap W) = \frac{45}{500} = 0, 09 \neq 0, 12$ : $T$ et $W$ ne sont pas indépendants. De plus $P_{T} (W) = \frac{45}{200} = 0, 225 < 0, 3$ : les télétravailleurs viennent moins souvent à vélo que l'ensemble des salariés.

6. a) Avec remise, les trois choix sont identiques et indépendants ; succès : « le salarié est dans $T \cap W$ », de probabilité $p = 0, 12$ . Trois chemins comportent un seul succès, chacun de probabilité $0, 12 \times 0, 88^{2} = 0, 12 \times 0, 7744 = 0, 092928$ . Total : $3 \times 0, 092928 = 0, 278784 \approx$ $0, 2788$ .

6. b) Aucun succès : $0, 88^{3} = 0, 681472$ . Donc $P (au moins un) = 1 - 0, 681472 = 0, 318528 \approx$ $0, 3185$ .

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