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Probabilités conditionnelles et probabilités totales

Q: Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

(Vu en 2nde.) Si P(A) ≠ 0, la probabilité de B sachant A est P(A ∩ B) divisé par P(A). Dans un tableau croisé d’effectifs, on divise l’effectif de A ∩ B par l’effectif de A, c’est-à-dire le total de la ligne ou de la colonne de la condition, pas le total général.

Q: Comment construire un arbre pondéré ?

(Vu en 2nde.) Au premier niveau, on place les probabilités de A et de son contraire. Au second, les probabilités conditionnelles : « parmi les A » donne une branche partant de A. Chaque nœud a des branches de somme 1, la probabilité d’un chemin est le produit de ses branches.

Q: À quoi sert la formule des probabilités totales ?

Elle donne la probabilité d’un événement B en additionnant les chemins de l’arbre qui y mènent : P(B) = P(A) × P(B sachant A) + P(Ā) × P(B sachant Ā), ou la même somme avec plus de deux cas. Il faut une partition de l’univers : aucun cas qui se chevauche, aucun cas oublié.

Q: Comment retrouver une probabilité manquante sur un arbre ?

On écrit la formule des probabilités totales avec l’inconnue. Si P(B) et P(A ∩ B) sont connus, P(Ā ∩ B) = P(B) − P(A ∩ B), puis on divise par P(Ā) pour obtenir la branche. Avec une inconnue x, on résout l’équation et on vérifie que x est entre 0 et 1.

Q: Quelle est la différence entre la probabilité de B sachant A et celle de A sachant B ?

Elles ont le même numérateur, P(A ∩ B), mais pas le même dénominateur. Pour passer de l’une à l’autre, on calcule P(B) par les probabilités totales puis on divise. Un test positif chez 95 % des malades peut ne désigner un malade que dans 19 % des cas si la maladie est rare : ce sont les faux positifs.

Partition de l’univers et formule des probabilités totales, donnée manquante à retrouver ; rappels de 2nde : probabilité de B sachant A, tableau croisé, arbres pondérés ; inversion du conditionnement et faux positifs (automatismes).

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de 1re reprend la probabilité conditionnelle vue en 2nde, puis l’approfondit en cinq parties : tableau croisé, arbre pondéré et probabilités composées, partition de l’univers et formule des probabilités totales (avec sa démonstration), branche manquante ou probabilité inconnue, inversion du conditionnement avec l’exemple du test de dépistage et des faux positifs.

Rappel de 2nde : probabilité conditionnelle et tableau croisé

Ce qu’il faut savoir

Définition (vue en 2nde). Soit $A$ un événement tel que $P (A) \neq 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est le nombre $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} .$ C’est la probabilité que $B$ se réalise quand on sait que $A$ est réalisé : on restreint l’univers aux seules issues de $A$ .

Avec un tableau croisé (situation d’équiprobabilité) : $P_{A} (B) = \frac{effectif de A \cap B}{effectif de A}$ . On divise par le total de la ligne (ou de la colonne) de $A$ , pas par le total général.

$P_{A}$ est une probabilité. Pour tout événement $B$ : $0 ⩽ P_{A} (B) ⩽ 1$ et $P_{A} (\overset{―}{B}) = 1 - P_{A} (B)$ .

Probabilités composées. Si $P (A) \neq 0$ , alors $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ .

Repérer la condition. « sachant que », « parmi », « si », « lorsque », « chez les » annoncent une probabilité conditionnelle : ce qui suit ces mots est la condition, placée en indice.

Exemples

Lire un tableau croisé. Dans un lycée de $250$ élèves, on relève le régime (demi-pensionnaire $D$ ou non) et la pratique d’un sport en club ( $S$ ou non). On choisit un élève au hasard.

	$S$	$\overset{―}{S}$	Total
$D$	$84$	$56$	$140$
$\overset{―}{D}$	$45$	$65$	$110$
Total	$129$	$121$	$250$

• $P (D \cap S) = \frac{84}{250} = 0, 336$ : on divise par le total général.

• $P_{D} (S) = \frac{84}{140} = 0, 6$ : $60 %$ des demi-pensionnaires font du sport.

• $P_{S} (D) = \frac{84}{129} = \frac{28}{43} \approx 0, 651$ : environ $65 %$ des sportifs sont demi-pensionnaires.

Même numérateur, dénominateurs différents : $P_{D} (S) \neq P_{S} (D)$ .

Avec la formule. On lance un dé équilibré à six faces. $A$ : « le résultat est pair », $B$ : « le résultat est supérieur ou égal à $4$ ». $A \cap B = {4; 6}$ , donc $P (A \cap B) = \frac{2}{6}$ , et $P (A) = \frac{3}{6}$ . Ainsi $P_{A} (B) = \frac{2 / 6}{3 / 6} = \frac{2}{3}$ : sachant que le résultat est pair, il vaut au moins $4$ avec la probabilité $\frac{2}{3}$ . Et $P_{A} (\overset{―}{B}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ .

Probabilités composées. Dans une forêt, $40 %$ des arbres sont des chênes ( $C$ ) et $15 %$ des chênes sont malades ( $M$ ). On a $P (C) = 0, 4$ et $P_{C} (M) = 0, 15$ , donc $P (C \cap M) = 0, 4 \times 0, 15 = 0, 06$ : $6 %$ des arbres sont des chênes malades.

Réflexe — Je me demande « parmi qui ? » : ce groupe est la condition, je l’écris en indice et je divise par sa probabilité (ou par son effectif). Sans condition, je divise par le total général.

Attention — $P_{A} (B)$ , $P_{B} (A)$ et $P (A \cap B)$ sont trois nombres différents en général. « $60 %$ des demi-pensionnaires font du sport » ne dit pas que $60 %$ des sportifs sont demi-pensionnaires. Et $P_{A} (B)$ n’a de sens que si $P (A) \neq 0$ .

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Rappel de 2nde : arbres pondérés et probabilités composées

Ce qu’il faut savoir

Construction (déjà rencontrée en 2nde). Le premier niveau porte $P (A)$ et $P (\overset{―}{A})$ . Le second niveau porte des probabilités conditionnelles : $P_{A} (B)$ et $P_{A} (\overset{―}{B})$ après $A$ , $P_{\overset{―}{A}} (B)$ et $P_{\overset{―}{A}} (\overset{―}{B})$ après $\overset{―}{A}$ . Chaque chemin complet représente une intersection, par exemple $A \cap B$ .

Règles de calcul.

1. La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut $1$ .

2. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches (probabilités composées) : $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ .

3. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

Traduire l’énoncé. Un pourcentage de toute la population donne une probabilité du premier niveau ; « parmi les $A$ », « chez les $A$ » donne une branche partant de $A$ au second niveau.

Épreuves successives. Pour des tirages sans remise, la composition change après le premier tirage : les branches du second niveau sont des probabilités conditionnelles. Un arbre peut avoir trois niveaux ou plus : chaque branche porte la probabilité sachant tout le chemin qui la précède, et on multiplie toujours le long du chemin.

Exemples

Un arbre complet. $P (A) = 0, 35$ , $P_{A} (B) = 0, 8$ et $P_{\overset{―}{A}} (B) = 0, 3$ . On complète chaque nœud à $1$ : $P (\overset{―}{A}) = 0, 65$ , $P_{A} (\overset{―}{B}) = 0, 2$ , $P_{\overset{―}{A}} (\overset{―}{B}) = 0, 7$ . En bout de chemin, on lit le produit des branches.

$P (A \cap B) = 0, 35 \times 0, 8 = 0, 28$ et $P (\overset{―}{A} \cap B) = 0, 65 \times 0, 3 = 0, 195$ . Les quatre chemins décrivent toutes les issues : $0, 28 + 0, 07 + 0, 195 + 0, 455 = 1$ .

Deux tirages sans remise. Un sac contient $10$ jetons : $4$ gagnants et $6$ perdants. On tire un jeton, on le garde, puis on en tire un second. $G_{1}$ : « le premier est gagnant », $G_{2}$ : « le second est gagnant ». $P (G_{1}) = \frac{4}{10}$ ; si le premier est gagnant, il reste $3$ gagnants sur $9$ jetons : $P_{G_{1}} (G_{2}) = \frac{3}{9}$ . Donc $P (G_{1} \cap G_{2})$ $= \frac{4}{10} \times \frac{3}{9}$ $= \frac{2}{15}$ .

De même, $P (\overset{―}{G_{1}} \cap \overset{―}{G_{2}}) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{1}{3}$ : la probabilité d’obtenir au moins un jeton gagnant est $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .

Réflexe — Avant de dessiner : je nomme les événements par des lettres, je classe chaque donnée (premier niveau, ou « parmi les … » au second), je complète chaque nœud à $1$ , puis je multiplie le long des chemins.

Attention — La branche du second niveau porte $P_{A} (B)$ , pas $P (A \cap B)$ : c’est le produit le long du chemin qui donne $P (A \cap B)$ . Et le complément à $1$ se fait sur un même nœud : $P_{A} (\overset{―}{B}) = 1 - P_{A} (B)$ , mais $P_{\overset{―}{A}} (B)$ n’est pas $1 - P_{A} (B)$ en général.

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Partition de l’univers et formule des probabilités totales

Ce qu’il faut savoir

Partition de l’univers. Les événements $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l’univers $Ω$ s’ils sont deux à deux disjoints et si leur réunion est $Ω$ : chaque issue appartient à un et un seul $A_{i}$ . Pour tout événement $A$ tel que $0 < P (A) < 1$ , ${A, \overset{―}{A}}$ est une partition.

Formule des probabilités totales. Si $A_{1}, \dots, A_{n}$ forment une partition de $Ω$ , avec $P (A_{i}) \neq 0$ pour tout $i$ , alors pour tout événement $B$ :

$P (B) = P (A_{1} \cap B) + \dots$ $+ P (A_{n} \cap B)$ ,

$P (B) = P (A_{1}) P_{A_{1}} (B) + \dots$ $+ P (A_{n}) P_{A_{n}} (B)$ .

Avec deux événements : $P (B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overset{―}{A}) P_{\overset{―}{A}} (B)$ . Sur l’arbre, c’est la somme des chemins qui mènent à $B$ .

Exemples

Démonstration (non exigible). Les événements $A_{i} \cap B$ sont deux à deux disjoints, car les $A_{i}$ le sont. Leur réunion est $B$ : toute issue de $B$ appartient à un et un seul $A_{i}$ . Donc $P (B) = P (A_{1} \cap B) + \dots + P (A_{n} \cap B)$ . Comme $P (A_{i}) \neq 0$ , on remplace chaque terme par $P (A_{i}) \times P_{A_{i}} (B)$ (probabilités composées).

Fin de l’arbre de la partie précédente. ${A, \overset{―}{A}}$ est une partition, donc $P (B) = P (A \cap B) + P (\overset{―}{A} \cap B)$ $= 0, 28 + 0, 195$ $= 0, 475$ .

Trois machines. Trois machines $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ fabriquent $50 %$ , $30 %$ et $20 %$ des pièces d’un atelier ; leurs taux de pièces défectueuses ( $D$ ) sont $2 %$ , $4 %$ et $5 %$ . Chaque pièce vient d’une et une seule machine : $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ forment une partition.

$P (D)$ $= 0, 5 \times 0, 02 + 0, 3 \times 0, 04 + 0, 2 \times 0, 05$ $= 0, 01 + 0, 012 + 0, 01$ $= 0, 032$ .

C’est une moyenne pondérée des trois taux ( $3, 2 %$ ), pas leur moyenne simple ( $\frac{2 + 4 + 5}{3} \approx 3, 67 %$ ).

Rédaction modèle. $62 %$ des clients d’un magasin paient par carte ( $C$ ). Parmi eux, $15 %$ achètent un produit en promotion ( $B$ ) ; parmi les autres clients, $40 %$ . « $C$ et $\overset{―}{C}$ forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales : $P (B) = P (C) P_{C} (B) + P (\overset{―}{C}) P_{\overset{―}{C}} (B)$ , soit $P (B)$ $= 0, 62 \times 0, 15 + 0, 38 \times 0, 40$ $= 0, 093 + 0, 152$ $= 0, 245$ . »

Réflexe — J’écris d’abord la phrase qui justifie la partition (« chaque pièce vient d’une et une seule machine »), puis la formule avec les noms des événements, puis seulement les nombres.

Attention — Chaque taux $P_{A_{i}} (B)$ est multiplié par $P (A_{i})$ : la moyenne simple des taux est fausse dès que les groupes n’ont pas la même probabilité. Et il faut une vraie partition : aucun chevauchement, aucun cas oublié.

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Retrouver une donnée manquante ou une probabilité inconnue

Ce qu’il faut savoir

Une branche manquante. Quand l’énoncé donne $P (B)$ (« au total, … ») mais pas une des branches, on écrit la formule des probabilités totales et on la résout : $P (\overset{―}{A} \cap B) = P (B) - P (A \cap B)$ , puis $P_{\overset{―}{A}} (B) = \frac{P (\overset{―}{A} \cap B)}{P (\overset{―}{A})}$ .

Tableau de probabilités. On peut ranger les quatre probabilités $P (A \cap B)$ , $P (A \cap \overset{―}{B})$ , $P (\overset{―}{A} \cap B)$ , $P (\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B})$ dans un tableau croisé : chaque ligne et chaque colonne s’additionnent, et les totaux sont $P (A)$ , $P (\overset{―}{A})$ , $P (B)$ , $P (\overset{―}{B})$ .

Une probabilité inconnue. Si $P (A) = x$ , la formule des probabilités totales donne $P (B) = x P_{A} (B) + (1 - x) P_{\overset{―}{A}} (B)$ , une expression affine en $x$ . On résout l’équation ou l’inéquation demandée, puis on vérifie que la solution est dans $[0; 1]$ .

Exemples

Retrouver la branche. $P (A) = 0, 4$ , $P_{A} (B) = 0, 45$ et $P (B) = 0, 33$ . D’abord $P (A \cap B) = 0, 4 \times 0, 45 = 0, 18$ . Avec la partition ${A, \overset{―}{A}}$ : $P (\overset{―}{A} \cap B)$ $= P (B) - P (A \cap B)$ $= 0, 33 - 0, 18$ $= 0, 15$ . Comme $P (\overset{―}{A}) = 0, 6$ : $P_{\overset{―}{A}} (B) = \frac{0, 15}{0, 6} = 0, 25$ .

Le tableau de probabilités se complète par soustractions : $0, 4 - 0, 18 = 0, 22$ ; $0, 6 - 0, 15 = 0, 45$ ; $0, 22 + 0, 45 = 0, 67$ .

	$B$	$\overset{―}{B}$	Total
$A$	$0, 18$	$0, 22$	$0, 4$
$\overset{―}{A}$	$0, 15$	$0, 45$	$0, 6$
Total	$0, 33$	$0, 67$	$1$

Avec une inconnue. $P (A) = x$ , $P_{A} (B) = 0, 9$ et $P_{\overset{―}{A}} (B) = 0, 4$ . Alors $P (B)$ $= 0, 9 x + 0, 4 (1 - x)$ $= 0, 4 + 0, 5 x$ .

$P (B) = 0, 7 ⟺ 0, 5 x = 0, 3 ⟺ x = 0, 6$ , qui est bien dans $[0; 1]$ . Et $P (B) ⩾ 0, 8 ⟺ 0, 5 x ⩾ 0, 4 ⟺ x ⩾ 0, 8$ : il faut $0, 8 ⩽ x ⩽ 1$ .

Réflexe — Une probabilité inconnue : je l’écris sur l’arbre (une lettre ou un point d’interrogation), j’écris la formule des probabilités totales, je résous, puis je vérifie que le résultat est entre $0$ et $1$ .

Attention — $P (\overset{―}{A} \cap B) = P (B) - P (A \cap B)$ , et non $P (B) - P_{A} (B)$ . Et $P (\overset{―}{A} \cap B)$ est un chemin, pas une branche : pour obtenir $P_{\overset{―}{A}} (B)$ , il faut encore diviser par $P (\overset{―}{A})$ .

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Inverser le conditionnement (automatisme) : les faux positifs

Ce qu’il faut savoir

Automatisme de 1re (vu en 2nde) : distinguer $P (A \cap B)$ , $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ . Ce qui est propre à la 1re : obtenir $P (B)$ par la formule des probabilités totales avant d’inverser.

Inverser le conditionnement. L’arbre suit l’ordre de l’expérience et donne $P_{A} (B)$ . Pour « remonter » l’arbre, si $P (A) \neq 0$ et $P (B) \neq 0$ :

$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ , c’est-à-dire $P_{B} (A) = \frac{P (A) \times P_{A} (B)}{P (B)}$ ,

où $P (B)$ s’obtient en général par la formule des probabilités totales.

Méthode en trois étapes. 1. $P (A \cap B)$ par un chemin de l’arbre. 2. $P (B)$ par les probabilités totales. 3. Le quotient, et une phrase « parmi les … ».

Faux positifs. Pour un test de dépistage d’une maladie $M$ (test positif : $T$ ), un faux positif est une personne non malade testée positive. Quand la maladie est rare, les faux positifs, pris sur une population très nombreuse, peuvent dépasser les vrais positifs : $P_{T} (M)$ est alors bien plus petit que $P_{M} (T)$ .

Exemples

Un test de dépistage. Une maladie touche $1 %$ d’une population. Le test est positif chez $95 %$ des malades et chez $4 %$ des personnes non malades. On a $P (M) = 0, 01$ , $P_{M} (T) = 0, 95$ et $P_{\overset{―}{M}} (T) = 0, 04$ .

1. $P (M \cap T) = 0, 01 \times 0, 95 = 0, 0095$ .

2. $P (\overset{―}{M} \cap T) = 0, 99 \times 0, 04 = 0, 0396$ , donc $P (T)$ $= 0, 0095 + 0, 0396$ $= 0, 0491$ .

3. $P_{T} (M)$ $= \frac{0, 0095}{0, 0491}$ $= \frac{95}{491}$ $\approx 0, 193$ .

Une personne testée positive n’est malade que dans environ $19 %$ des cas, alors que $P_{M} (T) = 0, 95$ . Le tableau d’effectifs sur $10 000$ personnes rend ce résultat visible : $491$ tests positifs, dont $95$ seulement chez des malades.

Sur $10 000$	Test positif	Test négatif	Total
Malades	$95$	$5$	$100$
Non malades	$396$	$9 504$	$9 900$
Total	$491$	$9 509$	$10 000$

Retour au magasin. Avec l’exemple des paiements par carte ( $P (C \cap B) = 0, 093$ et $P (B) = 0, 245$ ), un client a acheté un produit en promotion ; la probabilité qu’il ait payé par carte est $P_{B} (C) = \frac{0, 093}{0, 245} = \frac{93}{245} \approx 0, 380$ .

Réflexe — La question dit « sachant $B$ » alors que l’arbre commence par $A$ : je calcule le chemin $A \cap B$ , puis le total $P (B)$ , et je divise. Je conclus par une phrase : « parmi les … , la proportion de … est … ».

Attention — « $95 %$ des malades sont positifs » ne veut pas dire « $95 %$ des positifs sont malades ». Avant tout calcul, je me demande : parmi qui ?

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Pour aller plus loin

Indépendance. Lorsque $P_{A} (B) = P (B)$ , savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$ : on dit que $A$ et $B$ sont indépendants. La définition $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ , les événements contraires, la succession de deux épreuves indépendantes et la répétition d’épreuves de Bernoulli sont traitées dans le chapitre Indépendance et épreuves répétées.

Variables aléatoires. Un arbre pondéré sert aussi à établir la loi d’un gain ou d’un nombre de succès, puis son espérance : chapitre Variables aléatoires réelles.

Se verra en Terminale. Quand une même épreuve est répétée $n$ fois de façon indépendante, le nombre de succès suit une loi binomiale : chapitre Loi binomiale.

À retenir

$P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ si $P (A) \neq 0$ ; dans un tableau croisé : effectif de $A \cap B$ sur effectif de $A$ .
Probabilités composées : $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ ; et $P_{A} (\overset{―}{B}) = 1 - P_{A} (B)$ .
Arbre : chaque nœud a des branches de somme $1$ ; on multiplie le long d’un chemin ; on additionne les chemins qui mènent à l’événement.
Probabilités totales : si $A_{1}, \dots, A_{n}$ forment une partition, $P (B) = P (A_{1}) P_{A_{1}} (B) + \dots$ $+ P (A_{n}) P_{A_{n}} (B)$ .
Branche manquante : $P (\overset{―}{A} \cap B) = P (B) - P (A \cap B)$ , puis on divise par $P (\overset{―}{A})$ .
Inverser : $P_{B} (A) = \frac{P (A) \times P_{A} (B)}{P (B)}$ ; $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ n’ont pas le même dénominateur.

Questions fréquentes

Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

(Vu en 2nde.) Si P(A) ≠ 0, la probabilité de B sachant A est P(A ∩ B) divisé par P(A). Dans un tableau croisé d’effectifs, on divise l’effectif de A ∩ B par l’effectif de A, c’est-à-dire le total de la ligne ou de la colonne de la condition, pas le total général.

Comment construire un arbre pondéré ?

(Vu en 2nde.) Au premier niveau, on place les probabilités de A et de son contraire. Au second, les probabilités conditionnelles : « parmi les A » donne une branche partant de A. Chaque nœud a des branches de somme 1, la probabilité d’un chemin est le produit de ses branches.

À quoi sert la formule des probabilités totales ?

Elle donne la probabilité d’un événement B en additionnant les chemins de l’arbre qui y mènent : P(B) = P(A) × P(B sachant A) + P(Ā) × P(B sachant Ā), ou la même somme avec plus de deux cas. Il faut une partition de l’univers : aucun cas qui se chevauche, aucun cas oublié.

Comment retrouver une probabilité manquante sur un arbre ?

On écrit la formule des probabilités totales avec l’inconnue. Si P(B) et P(A ∩ B) sont connus, P(Ā ∩ B) = P(B) − P(A ∩ B), puis on divise par P(Ā) pour obtenir la branche. Avec une inconnue x, on résout l’équation et on vérifie que x est entre 0 et 1.

Quelle est la différence entre la probabilité de B sachant A et celle de A sachant B ?

Elles ont le même numérateur, P(A ∩ B), mais pas le même dénominateur. Pour passer de l’une à l’autre, on calcule P(B) par les probabilités totales puis on divise. Un test positif chez 95 % des malades peut ne désigner un malade que dans 19 % des cas si la maladie est rare : ce sont les faux positifs.

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