Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilité d'un événement sachant un autre, formule des probabilités totales et indépendance — programme de 1re Spé Maths
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Probabilités conditionnelles et indépendance » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : probabilités sur un univers fini, Probabilité conditionnelle : définition et propriétés, Arbres de probabilités et lecture des probabilités conditionnelles, Formule des probabilités totales. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.
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Rappels : probabilités sur un univers fini
On considère une expérience aléatoire dont l'espace des événements élémentaires (l'univers) est un ensemble fini $\Omega$. Une probabilité est une fonction $P$ définie sur les événements qui vérifie :
- $P(\Omega)=1$ et $P(\varnothing)=0$
- Pour tout événement $A$, $0 \le P(A) \le 1$
- Si $A$ et $B$ sont incompatibles (disjoints) : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
Rappels fondamentaux.
• $P(\bar{A})=1-P(A)$ (événement contraire)
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ (union quelconque)
• Si $\Omega$ est équiprobable : $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ où $|A|$ désigne le cardinal de $A$.
• $P(\bar{A})=1-P(A)$ (événement contraire)
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ (union quelconque)
• Si $\Omega$ est équiprobable : $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ où $|A|$ désigne le cardinal de $A$.
Exemple. On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. $P(\text{cœur})=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$. $P(\text{figure})=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}$. $P(\text{cœur ou figure})=\frac{13+12-3}{52}=\frac{22}{52}=\frac{11}{26}$.
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Probabilité conditionnelle : définition et propriétés
Définition. Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A)\gt 0$. La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ est :
$$P_A(B)=P(B\,|\,A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$
Elle représente la probabilité que $B$ se réalise, sachant que $A$ s'est déjà réalisé.
Intuitivement, on « restreint » l'univers à $A$ : parmi les résultats favorables à $A$, quelle proportion est aussi favorable à $B$ ?
Astuce. La formule se réécrit aussi : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B\,|\,A)$. C'est la formule des probabilités composées (ou règle du produit), très utile pour calculer l'intersection.
Attention ! $P(B\,|\,A)\neq P(A\,|\,B)$ en général. Confondre les deux est une erreur classique (confusion entre "sachant A" et "sachant B").
Exemple. Dans une classe de 30 élèves, 18 jouent au sport, 12 jouent de la musique, 7 font les deux. On tire un élève au hasard.
$A=$"joue au sport", $B=$"joue de la musique".
$P(A)=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$, $P(A\cap B)=\frac{7}{30}$.
$P(B\,|\,A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{7/30}{18/30}=\frac{7}{18}\approx 0{,}39$.
$A=$"joue au sport", $B=$"joue de la musique".
$P(A)=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$, $P(A\cap B)=\frac{7}{30}$.
$P(B\,|\,A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{7/30}{18/30}=\frac{7}{18}\approx 0{,}39$.
Diagramme : répartition des 30 élèves selon leurs activités (sport/musique)
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Arbres de probabilités et lecture des probabilités conditionnelles
Un arbre de probabilités représente des expériences successives. Sur chaque branche figure la probabilité (éventuellement conditionnelle) de l'issue correspondante.
| Principe | Formule |
|---|---|
| Le long d'un chemin | On multiplie les probabilités des branches |
| Pour combiner des chemins | On additionne les probabilités des chemins |
| Somme des branches issues d'un nœud | Toujours égale à $1$ |
Exemple. Un sac contient 4 boules rouges (R) et 6 boules bleues (B). On tire deux boules sans remise.
• $P(R_1)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ ; après avoir tiré R, il reste 3R et 6B : $P(R_2\,|\,R_1)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
• $P(R_1\cap R_2)=\frac{2}{5}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{15}$
• De même $P(B_1\cap B_2)=\frac{6}{10}\times\frac{5}{9}=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}$
• $P(R_1)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ ; après avoir tiré R, il reste 3R et 6B : $P(R_2\,|\,R_1)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
• $P(R_1\cap R_2)=\frac{2}{5}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{15}$
• De même $P(B_1\cap B_2)=\frac{6}{10}\times\frac{5}{9}=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}$
Astuce — lire les branches. Sur la branche de gauche figure $P(A)$, sur la branche de droite (issue de $A$) figure $P(B\,|\,A)$. Le produit des deux donne $P(A\cap B)$.
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Formule des probabilités totales
Théorème des probabilités totales. Soit $(A_1, A_2, \ldots, A_n)$ une partition de $\Omega$ (les $A_i$ sont disjoints deux à deux et leur réunion est $\Omega$), avec $P(A_i)\gt 0$ pour tout $i$. Alors pour tout événement $B$ :
$$P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)\times P(B\,|\,A_i)$$
En pratique avec deux événements $A$ et $\bar{A}$ : $$P(B)=P(A)\times P(B\,|\,A)+P(\bar{A})\times P(B\,|\,\bar{A})$$
Exemple. Une usine dispose de deux machines M1 et M2. M1 produit 60 % des pièces, M2 produit 40 %. Le taux de défaut est 2 % pour M1 et 5 % pour M2. Quelle est la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse ?
Soit $D$ = "pièce défectueuse", $M_1$ = "fabriquée par M1".
$(M_1, M_2=\bar{M_1})$ est une partition de $\Omega$.
$P(D)=P(M_1)\times P(D\,|\,M_1)+P(M_2)\times P(D\,|\,M_2)$
$P(D)=0{,}6\times 0{,}02+0{,}4\times 0{,}05=0{,}012+0{,}020=0{,}032$
La probabilité est $3{,}2\,\%$.
Soit $D$ = "pièce défectueuse", $M_1$ = "fabriquée par M1".
$(M_1, M_2=\bar{M_1})$ est une partition de $\Omega$.
$P(D)=P(M_1)\times P(D\,|\,M_1)+P(M_2)\times P(D\,|\,M_2)$
$P(D)=0{,}6\times 0{,}02+0{,}4\times 0{,}05=0{,}012+0{,}020=0{,}032$
La probabilité est $3{,}2\,\%$.
Contributions de M1 et M2 à la probabilité totale d'une pièce défectueuse
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Indépendance de deux événements
Définition. Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si :
$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$
Lorsque $P(A)\gt 0$, cette condition équivaut à $P(B\,|\,A)=P(B)$ : la réalisation de $A$ ne modifie pas la probabilité de $B$.
Propriétés.
• Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\bar{B}$ le sont aussi, ainsi que $\bar{A}$ et $B$, et $\bar{A}$ et $\bar{B}$.
• L'indépendance n'est pas la même chose que l'incompatibilité. Deux événements incompatibles de probabilité non nulle ne sont jamais indépendants.
• Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\bar{B}$ le sont aussi, ainsi que $\bar{A}$ et $B$, et $\bar{A}$ et $\bar{B}$.
• L'indépendance n'est pas la même chose que l'incompatibilité. Deux événements incompatibles de probabilité non nulle ne sont jamais indépendants.
Attention ! Ne pas confondre « indépendants » et « incompatibles ». Si $A\cap B=\varnothing$ et $P(A)\gt 0$ et $P(B)\gt 0$, alors $P(A\cap B)=0\neq P(A)\times P(B)\gt 0$ : ils sont incompatibles mais pas indépendants.
Exemple. On lance deux dés équilibrés. $A=$"le premier dé donne 6", $B=$"la somme est 7".
$P(A)=\frac{1}{6}$, $P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$, $P(A\cap B)=P(\{(6,1)\})=\frac{1}{36}$.
$P(A)\times P(B)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36}=P(A\cap B)$. Donc $A$ et $B$ sont indépendants.
$P(A)=\frac{1}{6}$, $P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$, $P(A\cap B)=P(\{(6,1)\})=\frac{1}{36}$.
$P(A)\times P(B)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36}=P(A\cap B)$. Donc $A$ et $B$ sont indépendants.
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Indépendance et répétition d'épreuves
Schéma de Bernoulli. On dit qu'on répète $n$ fois une épreuve de Bernoulli (succès/échec) de manière indépendante lorsque la probabilité du succès reste $p$ à chaque tirage, quelle que soit l'issue des tirages précédents.
Dans ce cas, pour toute suite de résultats $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ (chaque $\varepsilon_i\in\{S,E\}$) :
$$P(\varepsilon_1\cap\varepsilon_2\cap\cdots\cap\varepsilon_n)=\prod_{i=1}^n P(\varepsilon_i)$$
Exemple. Une pièce équilibrée est lancée 3 fois. $P(\text{pile})=\frac{1}{2}$.
$P(\text{PPF})=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
$P(\text{exactement 2 piles})=\binom{3}{2}\times\left(\frac{1}{2}\right)^2\times\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$
(On utilise ici aussi la loi binomiale, développée dans le chapitre suivant.)
$P(\text{PPF})=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
$P(\text{exactement 2 piles})=\binom{3}{2}\times\left(\frac{1}{2}\right)^2\times\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$
(On utilise ici aussi la loi binomiale, développée dans le chapitre suivant.)
Tirage avec ou sans remise. Un tirage avec remise dans une urne donne des épreuves indépendantes. Un tirage sans remise donne des épreuves non indépendantes (on utilise alors les probabilités conditionnelles).
7
Formule de Bayes (retour en arrière)
Formule de Bayes. Soit $(A_1,\ldots,A_n)$ une partition de $\Omega$ avec $P(A_i)\gt 0$. Pour tout événement $B$ avec $P(B)\gt 0$ :
$$P(A_k\,|\,B)=\frac{P(A_k)\times P(B\,|\,A_k)}{P(B)}=\frac{P(A_k)\times P(B\,|\,A_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n P(A_i)\times P(B\,|\,A_i)}$$
Elle permet de « remonter » d'un résultat observé ($B$) vers sa cause probable ($A_k$).
Exemple (suite de l'usine). On a trouvé $P(D)=0{,}032$. Sachant qu'une pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de M1 ?
$$P(M_1\,|\,D)=\frac{P(M_1)\times P(D\,|\,M_1)}{P(D)}=\frac{0{,}6\times 0{,}02}{0{,}032}=\frac{0{,}012}{0{,}032}=0{,}375$$
Il y a donc 37,5 % de chances qu'une pièce défectueuse vienne de M1.
$$P(M_1\,|\,D)=\frac{P(M_1)\times P(D\,|\,M_1)}{P(D)}=\frac{0{,}6\times 0{,}02}{0{,}032}=\frac{0{,}012}{0{,}032}=0{,}375$$
Il y a donc 37,5 % de chances qu'une pièce défectueuse vienne de M1.
Attention ! La formule de Bayes n'est pas au programme de 1re de façon explicite, mais elle découle directement de la définition de $P(A\,|\,B)$ et est très souvent utilisée dans les problèmes.
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Méthode : choisir le bon outil
| Situation | Outil à utiliser |
|---|---|
| Calcul de $P(A\cap B)$ via l'arbre | Multiplier les probabilités sur le chemin |
| Calcul de $P(B)$ à partir de causes $A_i$ | Formule des probabilités totales |
| Vérifier l'indépendance | Tester $P(A\cap B)\stackrel{?}{=}P(A)\times P(B)$ |
| Probabilité « à rebours » $P(A\,|\,B)$ connu $P(B\,|\,A)$ | Formule de Bayes : $\frac{P(A)\times P(B\,|\,A)}{P(B)}$ |
| Répétition d'épreuves identiques indépendantes | Produit des probabilités (schéma de Bernoulli) |
Astuce générale. Commencez toujours par définir clairement les événements avec des lettres, posez les données connues ($P(A)$, $P(B\,|\,A)$, etc.), puis choisissez la formule adaptée. Un arbre bien construit permet souvent de visualiser toute la situation.
Carte mentale des outils essentiels du chapitre
En bref — Probabilités conditionnelles
- $P(B\,|\,A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ si $P(A)\gt 0$ (probabilité de $B$ sachant $A$)
- Règle du produit : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B\,|\,A)$
- Probabilités totales : $P(B)=P(A)\times P(B\,|\,A)+P(\bar{A})\times P(B\,|\,\bar{A})$
- Indépendance : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$
- Bayes : $P(A\,|\,B)=\dfrac{P(A)\times P(B\,|\,A)}{P(B)}$
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