Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Variables aléatoires discrètes
Loi de probabilité, espérance et variance d'une variable aléatoire (programme Spé Maths 1ère)
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Variables aléatoires discrètes » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Variable aléatoire discrète : définition et valeurs, Loi de probabilité d'une variable aléatoire, Représentation de la loi et lecture d'un tableau, Espérance d'une variable aléatoire. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.
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Variable aléatoire discrète : définition et valeurs
Lors d'une expérience aléatoire, l'univers $\Omega$ est l'ensemble de toutes les issues possibles. On associe souvent à chaque issue un nombre réel pour quantifier le résultat.
Définition. Une variable aléatoire discrète $X$ définie sur $\Omega$ est une fonction $X : \Omega \to \mathbb{R}$ qui prend un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs. On note $x_1, x_2, \ldots, x_k$ les valeurs prises par $X$.
Exemple. On lance un dé équilibré à six faces. L'univers est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. On définit $X$ = « score obtenu ». Alors $X$ prend les valeurs $1, 2, 3, 4, 5, 6$. On peut aussi définir $Y$ = « gain au jeu : +2€ si le score est pair, −1€ sinon » ; $Y$ prend alors les valeurs $-1$ et $2$.
Astuce. Une variable aléatoire n'est pas un nombre : c'est une fonction. Son résultat est aléatoire tant que l'expérience n'a pas eu lieu.
On note $\{X = x_i\}$ l'événement « $X$ prend la valeur $x_i$ », c'est-à-dire l'ensemble des issues $\omega \in \Omega$ telles que $X(\omega) = x_i$.
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Loi de probabilité d'une variable aléatoire
Définition. La loi de probabilité de $X$ est la donnée, pour chaque valeur $x_i$ prise par $X$, de la probabilité $p_i = P(X = x_i)$. Elle est souvent présentée dans un tableau de distribution.
Les probabilités $p_i$ vérifient obligatoirement :
- $0 \le p_i \le 1$ pour tout $i$,
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{k} p_i = 1$ (la somme de toutes les probabilités vaut 1).
Exemple. On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Soit $X$ le nombre de points attribués : 1 pour un As, 10 pour une figure ou un 10, et la valeur de la carte (2 à 9) sinon.
La loi s'obtient en comptant les cas favorables pour chaque valeur.
La loi s'obtient en comptant les cas favorables pour chaque valeur.
Attention ! Vérifier toujours que la somme des probabilités vaut bien 1 ; sinon, la loi est incorrecte.
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Représentation de la loi et lecture d'un tableau
Le tableau de distribution se présente comme suit :
| $X$ | $x_1$ | $x_2$ | $\cdots$ | $x_k$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | $\cdots$ | $p_k$ |
On peut aussi représenter la loi par un diagramme en bâtons : en abscisse les valeurs $x_i$, en ordonnée les probabilités $p_i$.
Exemple. On lance deux dés équilibrés et $X$ désigne la somme des deux scores. Les valeurs possibles vont de 2 à 12 et les probabilités sont :
$P(X=2) = \frac{1}{36}$, $P(X=3) = \frac{2}{36}$, …, $P(X=7) = \frac{6}{36}$, …, $P(X=12) = \frac{1}{36}$.
$P(X=2) = \frac{1}{36}$, $P(X=3) = \frac{2}{36}$, …, $P(X=7) = \frac{6}{36}$, …, $P(X=12) = \frac{1}{36}$.
Astuce. Pour vérifier la loi, somme des hauteurs du diagramme = 1. La forme en cloche de cet exemple est caractéristique.
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Espérance d'une variable aléatoire
Définition. L'espérance de $X$, notée $E(X)$, est la moyenne pondérée des valeurs de $X$ par leurs probabilités :$$E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_k p_k.$$
L'espérance est la valeur moyenne que l'on obtiendrait si l'on répétait l'expérience un très grand nombre de fois (loi des grands nombres).
Exemple. On joue à un jeu : on lance un dé équilibré. Si le résultat est 6, on gagne 5€ ; sinon, on perd 1€. Soit $G$ le gain algébrique.
$P(G=5) = \frac{1}{6}$ et $P(G=-1) = \frac{5}{6}$.
$$E(G) = 5 \times \frac{1}{6} + (-1) \times \frac{5}{6} = \frac{5-5}{6} = 0.$$
Ce jeu est équitable : l'espérance de gain est nulle.
$P(G=5) = \frac{1}{6}$ et $P(G=-1) = \frac{5}{6}$.
$$E(G) = 5 \times \frac{1}{6} + (-1) \times \frac{5}{6} = \frac{5-5}{6} = 0.$$
Ce jeu est équitable : l'espérance de gain est nulle.
Astuce.
- Si $E(X) \gt 0$ : en moyenne on gagne — favorable au joueur.
- Si $E(X) = 0$ : jeu équitable.
- Si $E(X) \lt 0$ : en moyenne on perd — défavorable au joueur.
Attention ! L'espérance n'est pas forcément une valeur prise par $X$. Par exemple si $X \in \{1, 2, 3\}$, on peut avoir $E(X) = 2{,}1$.
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Variance et écart-type
Définition. La variance de $X$, notée $V(X)$, mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance :$$V(X) = \sum_{i=1}^{k} p_i \cdot (x_i - E(X))^2 = E\bigl((X - E(X))^2\bigr).$$L'écart-type de $X$ est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Il est dans la même unité que $X$.
Formule de calcul pratique (König-Huygens) :
Formule de König-Huygens. $$V(X) = E(X^2) - \bigl(E(X)\bigr)^2 \quad \text{où} \quad E(X^2) = \sum_{i=1}^{k} p_i \cdot x_i^2.$$
Exemple. Reprenons $G$ le gain du jeu précédent ($E(G)=0$).
$E(G^2) = 5^2 \times \frac{1}{6} + (-1)^2 \times \frac{5}{6} = \frac{25+5}{6} = 5$.
$V(G) = 5 - 0^2 = 5$. Donc $\sigma(G) = \sqrt{5} \approx 2{,}24$€.
$E(G^2) = 5^2 \times \frac{1}{6} + (-1)^2 \times \frac{5}{6} = \frac{25+5}{6} = 5$.
$V(G) = 5 - 0^2 = 5$. Donc $\sigma(G) = \sqrt{5} \approx 2{,}24$€.
Astuce. Plus $\sigma(X)$ est grand, plus les valeurs de $X$ sont dispersées autour de l'espérance. Deux jeux peuvent avoir la même espérance mais des écarts-types très différents (l'un est plus risqué).
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Linéarité de l'espérance et propriétés
Propriétés. Pour tous réels $a$ et $b$, si $Y = aX + b$ :
- $E(Y) = E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$
- $V(Y) = V(aX + b) = a^2 \cdot V(X)$
- $\sigma(Y) = |a| \cdot \sigma(X)$
De plus, si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires quelconques définies sur le même univers :
- $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ (linéarité de l'espérance).
Exemple. Un joueur mise 2€ pour jouer et gagne le montant $G$ (espérance $E(G)=3$€). Son gain net est $N = G - 2$. Alors $E(N) = E(G) - 2 = 1$€ et $V(N) = V(G)$ (translation ne change pas la variance).
Attention ! En général, $E(X \times Y) \ne E(X) \times E(Y)$ sauf si $X$ et $Y$ sont indépendantes. De même $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes.
| Opération | Espérance | Variance |
|---|---|---|
| $aX + b$ | $aE(X)+b$ | $a^2 V(X)$ |
| $X + Y$ (indép.) | $E(X)+E(Y)$ | $V(X)+V(Y)$ |
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Application : jeux de hasard et décision
L'espérance et la variance permettent de comparer des jeux ou des situations aléatoires et d'aider à la décision.
Exemple : choix de jeu. Deux jeux A et B ont le même coût d'entrée (1€).
Jeu A : $X_A$ prend les valeurs 0, 1, 2 avec probabilités $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$.
$E(X_A) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1$. Gain net moyen = $1-1=0$€.
Jeu B : $X_B$ prend les valeurs 0, 2 avec probabilités $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$.
$E(X_B) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. Gain net moyen = $1-1=0$€.
Les deux jeux sont équitables, mais $V(X_A) = \frac{1}{2}$ et $V(X_B) = 1$ : le jeu B est plus risqué.
Jeu A : $X_A$ prend les valeurs 0, 1, 2 avec probabilités $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$.
$E(X_A) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1$. Gain net moyen = $1-1=0$€.
Jeu B : $X_B$ prend les valeurs 0, 2 avec probabilités $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$.
$E(X_B) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. Gain net moyen = $1-1=0$€.
Les deux jeux sont équitables, mais $V(X_A) = \frac{1}{2}$ et $V(X_B) = 1$ : le jeu B est plus risqué.
Astuce. Pour comparer deux situations équitables ($E=0$), on préfère généralement celle à plus faible variance (moins de risque).
Ces notions sont fondamentales en assurance, finance et théorie des jeux.
En bref
- Une variable aléatoire discrète $X$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.
- Sa loi de probabilité est un tableau $(x_i, p_i)$ avec $\sum p_i = 1$.
- L'espérance : $E(X) = \sum x_i p_i$ (valeur moyenne sur le long terme).
- La variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ ; l'écart-type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
- Propriété clé : $E(aX+b) = aE(X)+b$ et $V(aX+b) = a^2 V(X)$.
- Un jeu est équitable si $E(\text{gain net}) = 0$.
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