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Variables aléatoires réelles

Loi de probabilité, événements {X = a} et {X ≤ a}, espérance, variance et écart type, formule de König-Huygens, transformation aX + b et jeu équitable.

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de 1re sur les variables aléatoires réelles suit cinq parties : loi de probabilité et événements {X = a}, {X ≤ a}, espérance et son interprétation, variance et écart type avec la formule de König-Huygens, transformation aX + b et linéarité de l’espérance, jeu équitable avec gain net et mise. Les démonstrations de König-Huygens et de E(aX + b) = aE(X) + b y sont rédigées, ainsi que deux fonctions Python qui calculent espérance et variance.

Variable aléatoire et loi de probabilité

Ce qu’il faut savoir

Variable aléatoire réelle. On considère une expérience aléatoire dont l’univers $Ω$ est fini. Une variable aléatoire réelle $X$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue : un gain, un nombre de succès, une durée, un coût. On note $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ les valeurs qu’elle prend. Comme elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs, on dit aussi que $X$ est une variable aléatoire discrète.

Événements liés à $X$ . Pour un réel $a$ , ${X = a}$ est l’ensemble des issues pour lesquelles $X$ prend la valeur $a$ , et ${X ⩽ a}$ l’ensemble des issues pour lesquelles $X$ prend une valeur inférieure ou égale à $a$ . On définit de même ${X < a}$ , ${X ⩾ a}$ et ${X > a}$ ; leurs probabilités se notent $P (X = a)$ , $P (X ⩽ a)$ , etc.

Loi de probabilité. Donner la loi de $X$ , c’est donner chaque valeur $x_{i}$ et sa probabilité $p_{i} = P (X = x_{i})$ , en général dans un tableau. Les événements ${X = x_{i}}$ partagent l’univers, donc $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$ .

Calculer $P (X ⩽ a)$ . On additionne les $p_{i}$ de toutes les valeurs $x_{i} ⩽ a$ . L’événement ${X > a}$ est le contraire de ${X ⩽ a}$ : $P (X > a) = 1 - P (X ⩽ a)$ .

Traduire une phrase. « au moins $a$ » : ${X ⩾ a}$ ; « au plus $a$ » : ${X ⩽ a}$ ; « plus de $a$ » : ${X > a}$ ; « moins de $a$ » : ${X < a}$ .

Exemples

Un jeu de dé. On lance un dé équilibré à six faces. Le joueur gagne $5$ € si le $6$ sort, $1$ € si le $2$ ou le $4$ sort, et perd $2$ € sinon ( $1$ , $3$ ou $5$ ). Soit $X$ le gain, en euros. Les six issues sont équiprobables, donc $P (X = 5) = \frac{1}{6}$ , $P (X = 1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ et $P (X = - 2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

$x_{i}$	$- 2$	$1$	$5$
$P (X = x_{i})$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

Contrôle : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ $= \frac{3 + 2 + 1}{6} = 1$ . « Le joueur gagne de l’argent » est l’événement ${X ⩾ 1}$ : $P (X ⩾ 1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ $= \frac{1}{2}$ . Par l’événement contraire, $P (X ⩽ 1) = 1 - P (X > 1)$ $= 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .

Réponse rédigée : la loi à partir d’un arbre. Une urne contient $4$ boules rouges et $2$ boules vertes. On tire successivement et sans remise deux boules ; $X$ est le nombre de boules rouges obtenues.

« Sur l’arbre pondéré, le chemin $R R$ a pour probabilité $\frac{4}{6} \times \frac{3}{5}$ $= \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$ et le chemin $V V$ a pour probabilité $\frac{2}{6} \times \frac{1}{5}$ $= \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ . Les chemins $R V$ et $V R$ donnent $X = 1$ : $P (X = 1)$ $= \frac{4}{6} \times \frac{2}{5} + \frac{2}{6} \times \frac{4}{5}$ $= \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$ . La loi de $X$ est donc $P (X = 0) = \frac{1}{15}$ , $P (X = 1) = \frac{8}{15}$ , $P (X = 2) = \frac{6}{15}$ ; contrôle : $\frac{1 + 8 + 6}{15} = 1$ . »

Réflexe — Je cherche d’abord toutes les valeurs que peut prendre $X$ (que vaut $X$ sur chaque issue, sur chaque chemin de l’arbre ?), puis je regroupe les issues qui donnent la même valeur. J’écris toujours le contrôle « somme des probabilités $= 1$ » : il sert aussi à trouver une probabilité manquante.

Attention — ${X ⩽ 1}$ contient la valeur $1$ , ${X < 1}$ non. « Au moins $2$ » se traduit par ${X ⩾ 2}$ , pas par ${X > 2}$ . Et le contraire de ${X ⩽ a}$ est ${X > a}$ , pas ${X ⩾ a}$ .

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Espérance d’une variable aléatoire

Ce qu’il faut savoir

Espérance. $E (X) = p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + \dots + p_{n} x_{n}$ $= \sum_{i = 1}^{n} p_{i} x_{i}$ : c’est la moyenne des valeurs de $X$ pondérée par leurs probabilités, comme la moyenne d’une série statistique pondérée par les fréquences.

Interprétation (admise). Si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois, de façon indépendante, la moyenne des valeurs observées de $X$ se rapproche de $E (X)$ : l’espérance est la valeur moyenne « à long terme ».

Encadrement. Si $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n}$ , alors $x_{1} ⩽ E (X) ⩽ x_{n}$ : une moyenne est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur. Mais $E (X)$ n’est pas forcément une valeur prise par $X$ .

Algorithme. Avec la liste x des valeurs et la liste p des probabilités, une boucle additionne les produits $p_{i} x_{i}$ :

def esperance(x, p):
    e = 0
    for i in range(len(x)):
        e = e + x[i] * p[i]
    return e

Exemples

Le jeu de dé (suite). $E (X)$ $= - 2 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{3} + 5 \times \frac{1}{6}$ $= \frac{- 6 + 2 + 5}{6} = \frac{1}{6}$ $\approx 0, 17$ €. Sur un grand nombre de parties, le joueur gagne en moyenne environ $17$ centimes par partie : sur $600$ parties, il peut espérer environ $600 \times \frac{1}{6} = 100$ €. Aucune partie ne rapporte exactement $\frac{1}{6}$ € : c’est une moyenne.

L’urne (suite). $E (X)$ $= 0 \times \frac{1}{15} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{6}{15}$ $= \frac{8 + 12}{15} = \frac{4}{3}$ : en moyenne, environ $1, 33$ boule rouge par tirage de deux boules.

Avec Python. L’appel esperance([-2, 1, 5], [1/2, 1/3, 1/6]) renvoie environ $0, 1667$ , valeur approchée de $\frac{1}{6}$ : les calculs sur les nombres à virgule de Python sont arrondis.

Réflexe — J’écris le calcul comme une somme de produits « valeur $\times$ probabilité », sans oublier les valeurs négatives, puis j’interprète avec la phrase type : « sur un grand nombre de répétitions, la valeur moyenne de $X$ est proche de $E (X)$ ».

Attention — L’espérance n’est pas la moyenne simple des valeurs : pour le jeu de dé, $\frac{- 2 + 1 + 5}{3} = \frac{4}{3}$ oublie que la perte de $2$ € arrive une fois sur deux. Et $E (X)$ ne dit rien de certain sur une seule partie.

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Variance, écart type et formule de König-Huygens

Ce qu’il faut savoir

Deux variables peuvent avoir la même espérance et des comportements très différents : un gain toujours nul et un gain qui vaut $- 100$ ou $100$ avec la probabilité $\frac{1}{2}$ ont tous deux une espérance nulle. La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance.

Variance. $V (X)$ $= \sum_{i = 1}^{n} p_{i} (x_{i} - E (X))^{2}$ : c’est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l’espérance. On a toujours $V (X) ⩾ 0$ .

Écart type. $σ (X) = \sqrt{V (X)}$ . Il s’exprime dans la même unité que $X$ (la variance est dans l’unité au carré).

Formule de König-Huygens. $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ , où $E (X^{2}) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} x_{i}^{2}$ .

Exemples

Démonstration de la formule de König-Huygens. On note $μ = E (X)$ . Pour tout $i$ , $(x_{i} - μ)^{2} = x_{i}^{2} - 2 μ x_{i} + μ^{2}$ . On multiplie par $p_{i}$ et on additionne :

$V (X)$ $= \sum p_{i} x_{i}^{2} - 2 μ \sum p_{i} x_{i} + μ^{2} \sum p_{i}$ .

Or $\sum p_{i} x_{i} = μ$ et $\sum p_{i} = 1$ , donc $V (X) = E (X^{2}) - 2 μ^{2} + μ^{2}$ $= E (X^{2}) - μ^{2}$ .

Le jeu de dé (suite). $E (X^{2})$ $= 4 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{3} + 25 \times \frac{1}{6}$ $= \frac{12 + 2 + 25}{6} = \frac{39}{6}$ $= 6, 5$ . Donc $V (X) = 6, 5 - {(\frac{1}{6})}^{2}$ $= \frac{234 - 1}{36} = \frac{233}{36}$ et $σ (X) = \frac{\sqrt{233}}{6}$ $\approx 2, 54$ €. Le gain moyen est faible, mais il varie beaucoup d’une partie à l’autre.

Le tableau à trois lignes. $X$ prend les valeurs $0$ , $2$ , $4$ et $10$ avec les probabilités $0, 4$ ; $0, 3$ ; $0, 2$ ; $0, 1$ .

$x_{i}$	$0$	$2$	$4$	$10$
$p_{i}$	$0, 4$	$0, 3$	$0, 2$	$0, 1$
$x_{i}^{2}$	$0$	$4$	$16$	$100$

$E (X) = 0 + 0, 6 + 0, 8 + 1 = 2, 4$ et $E (X^{2}) = 0 + 1, 2 + 3, 2 + 10 = 14, 4$ .

$V (X) = 14, 4 - 2, 4^{2} = 14, 4 - 5, 76$ $= 8, 64$ et $σ (X) = \sqrt{8, 64} \approx 2, 94$ .

Avec Python. On réutilise la fonction esperance et on applique König-Huygens :

def variance(x, p):
    e = esperance(x, p)
    s = 0
    for i in range(len(x)):
        s = s + p[i]*x[i]**2
    return s - e**2

Réflexe — J’ajoute une ligne $x_{i}^{2}$ au tableau de la loi, je calcule $E (X)$ puis $E (X^{2})$ , et j’applique König-Huygens. Je vérifie que la variance est positive, puis je donne l’écart type avec son unité.

Attention — $E (X^{2})$ et $(E (X))^{2}$ sont deux nombres différents : le premier se calcule avec les carrés des valeurs, le second est le carré d’un seul nombre (pour le jeu de dé : $6, 5$ contre $\frac{1}{36}$ ). Une variance négative signale toujours une erreur de calcul.

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Transformation aX + b et linéarité de l’espérance

Ce qu’il faut savoir

Si $a$ et $b$ sont deux réels, $Y = a X + b$ est une variable aléatoire : elle prend les valeurs $a x_{i} + b$ avec les mêmes probabilités $p_{i}$ . Elle modélise un changement d’unité, une mise à payer, un coût fixe ajouté à un coût variable.

Linéarité de l’espérance. $E (a X + b) = a E (X) + b$ .

Cas particuliers. $E (X + b) = E (X) + b$ . La variable centrée $X - E (X)$ a une espérance nulle.

Variance et écart type (approfondissement : hors programme de 1re, au programme de Terminale ; démontré ci-dessous à partir de la définition). $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ et $σ (a X + b) = | a | σ (X)$ . En particulier $V (X + b) = V (X)$ : décaler toutes les valeurs ne change pas leur dispersion ; $σ (- X) = σ (X)$ ; la variable centrée a la même variance que $X$ . En 1re, on peut toujours retrouver $V (a X + b)$ en recalculant la variance à partir de la loi.

Exemples

Démonstration. $E (a X + b) = \sum p_{i} (a x_{i} + b)$ $= a \sum p_{i} x_{i} + b \sum p_{i} = a E (X) + b$ , car $\sum p_{i} = 1$ .

Approfondissement. Pour tout $i$ , $(a x_{i} + b) - (a E (X) + b)$ $= a (x_{i} - E (X))$ , donc $V (a X + b)$ $= \sum p_{i} a^{2} (x_{i} - E (X))^{2}$ $= a^{2} V (X)$ .

Enfin $σ (a X + b) = \sqrt{a^{2} V (X)}$ $= | a | σ (X)$ , car $\sqrt{a^{2}} = | a |$ .

Le jeu de dé (suite). Un casino triple les gains et prélève $2$ € de participation : le gain devient $Y = 3 X - 2$ . Par linéarité, $E (Y) = 3 \times \frac{1}{6} - 2 = - 1, 5$ € : le jeu devient défavorable. Puis, en approfondissement, $V (Y) = 3^{2} \times \frac{233}{36}$ $= \frac{233}{4} = 58, 25$ et $σ (Y) = 3 σ (X)$ $= \frac{\sqrt{233}}{2} \approx 7, 63$ €.

Changer d’unité. Une durée $T$ , en heures, a pour espérance $1, 5$ h et pour écart type $0, 2$ h. En minutes, la durée est $M = 60 T$ : $E (M) = 60 \times 1, 5 = 90$ min et $σ (M) = 60 \times 0, 2 = 12$ min.

Réflexe — Je reconnais la forme $Y = a X + b$ et j’écris $a$ et $b$ avec leur signe. Puis : espérance par linéarité, sans écrire la loi de $Y$ . En approfondissement : variance avec $a^{2}$ , écart type avec $| a |$ .

Attention — « $V (a X + b) = a V (X) + b$ » est faux deux fois : le coefficient est élevé au carré et la constante $b$ disparaît. Et $σ (- 3 X) = 3 σ (X)$ , jamais $- 3 σ (X)$ : un écart type n’est jamais négatif.

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Jeu équitable : gain net, mise et paramètre

Ce qu’il faut savoir

Gain brut, gain net. Dans un jeu payant, le gain brut $Y$ est ce que le joueur reçoit ; le gain net (ou gain algébrique) est $G = Y - m$ , où $m$ est la mise. Par linéarité, $E (G) = E (Y) - m$ .

Jeu équitable. Le jeu est équitable si $E (G) = 0$ , favorable au joueur si $E (G) > 0$ , défavorable si $E (G) < 0$ . La mise qui rend le jeu équitable est $m = E (Y)$ .

Point de vue de l’organisateur. Ce que le joueur perd en moyenne, l’organisateur le gagne : sur $N$ parties, il peut espérer gagner environ $- N \times E (G)$ .

Paramètre inconnu. Si un gain ou une probabilité dépend d’un paramètre, on exprime $E (G)$ en fonction de ce paramètre, puis on résout $E (G) = 0$ (équitable) ou $E (G) > 0$ (favorable).

Exemples

Une loterie. Un billet coûte $2$ € ; il rapporte $20$ € avec la probabilité $0, 05$ , $5$ € avec la probabilité $0, 1$ , rien sinon. Gain brut moyen : $E (Y) = 20 \times 0, 05 + 5 \times 0, 1$ $= 1 + 0, 5 = 1, 5$ €. Gain net moyen : $E (G) = 1, 5 - 2 = - 0, 5$ € : le jeu est défavorable au joueur. Il serait équitable avec un billet à $1, 50$ €. Sur $10 000$ billets vendus, l’organisateur peut espérer gagner environ $10 000 \times 0, 5 = 5 000$ €.

Réponse rédigée : le gain qui rend le jeu équitable. On mise $3$ €, puis on tire une carte d’un jeu de $32$ cartes. Un as ( $4$ cartes) rapporte $g$ euros, une figure ( $12$ cartes) rapporte $4$ €, les autres cartes ne rapportent rien.

« Soit $Y$ le gain brut. $P (Y = g) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ , $P (Y = 4) = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$ et $P (Y = 0) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$ . Donc $E (Y) = \frac{g}{8} + \frac{12}{8}$ $= \frac{g + 12}{8}$ et le gain net $G = Y - 3$ a pour espérance $E (G) = \frac{g + 12}{8} - 3$ $= \frac{g - 12}{8}$ . Le jeu est équitable si et seulement si $E (G) = 0$ , c’est-à-dire $g = 12$ : un as doit rapporter $12$ €. »

Réflexe — Je commence par dire si je travaille sur le gain brut ou sur le gain net. Je conclus toujours par une phrase : « le jeu est défavorable au joueur, qui perd en moyenne … € par partie ».

Attention — L’équité se juge sur le gain net : oublier de retrancher la mise fait déclarer « favorable » un jeu qui ne l’est pas. Et un jeu équitable ne rend pas la mise à chaque partie : c’est seulement en moyenne, sur un grand nombre de parties, que l’on ne gagne ni ne perd.

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Pour aller plus loin

Construire l’arbre. Les arbres pondérés, les probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales, qui servent à établir une loi lors de tirages sans remise, sont traités dans le chapitre Probabilités conditionnelles et probabilités totales.

Épreuves indépendantes. Les lancers ou tirages avec remise successifs, et la répétition d’épreuves de Bernoulli, sont étudiés dans le chapitre Indépendance et épreuves répétées.

Simuler pour estimer l’espérance. Simuler une variable aléatoire en Python, calculer la moyenne d’un échantillon et la comparer à l’espérance : chapitre Expérimentations : simuler des échantillons.

Se verra en Terminale. L’espérance et la variance d’une somme de deux variables aléatoires, $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ , sont au programme du chapitre Sommes de variables aléatoires ; la loi binomiale, dans le chapitre Loi binomiale.

À retenir

Une variable aléatoire associe un réel à chaque issue ; sa loi donne chaque valeur $x_{i}$ et $P (X = x_{i})$ , et la somme des probabilités vaut $1$ .
$P (X ⩽ a)$ : on additionne les probabilités des valeurs $⩽ a$ ; $P (X > a) = 1 - P (X ⩽ a)$ .
$E (X) = \sum p_{i} x_{i}$ : la moyenne à long terme, comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.
$V (X) = \sum p_{i} (x_{i} - E (X))^{2}$ $= E (X^{2}) - E (X)^{2}$ (König-Huygens) et $σ (X) = \sqrt{V (X)}$ .
$E (a X + b) = a E (X) + b$ : c’est la linéarité de l’espérance.
Approfondissement (Terminale) : $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ et $σ (a X + b) = | a | σ (X)$ .
Gain net $G = Y - m$ : le jeu est équitable si $E (G) = 0$ , et la mise équitable vaut $E (Y)$ .

Questions fréquentes

Comment déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire ?

On liste toutes les valeurs que peut prendre X, puis on calcule la probabilité de chacune en regroupant les issues (ou les chemins de l’arbre) qui donnent cette valeur. On présente la loi dans un tableau et on vérifie que la somme des probabilités vaut 1. Pour P(X ≤ a), on additionne les probabilités des valeurs inférieures ou égales à a.

Comment interpréter l’espérance d’une variable aléatoire ?

E(X) = Σ pᵢxᵢ est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités. Si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois, la moyenne des valeurs observées se rapproche de E(X). Ce n’est pas forcément une valeur que X peut prendre, et ce n’est jamais une certitude pour une seule expérience.

Comment calculer la variance avec la formule de König-Huygens ?

On ajoute une ligne xᵢ² au tableau de la loi, on calcule E(X²) = Σ pᵢxᵢ², puis V(X) = E(X²) − E(X)². L’écart type est σ(X) = √V(X), dans la même unité que X. Une variance négative signale une erreur.

Que deviennent l’espérance et la variance de aX + b ?

Par linéarité, E(aX + b) = aE(X) + b. En approfondissement (au programme de Terminale), la variance vaut V(aX + b) = a²V(X) : le coefficient est élevé au carré et la constante b disparaît. L’écart type vaut σ(aX + b) = |a|σ(X), toujours positif.

Quand un jeu est-il équitable ?

Un jeu est équitable lorsque l’espérance du gain net (gain reçu moins mise) est nulle. Il est favorable au joueur si elle est positive, défavorable si elle est négative. La mise qui rend le jeu équitable est égale à l’espérance du gain brut.

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