Combien de temps dure ce contrôle sur « Indépendance et répétition d'épreuves » ?

120 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Indépendance et répétition d'épreuves » du programme officiel de spécialité mathématiques en première.

Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Indépendance et répétition d'épreuves

Événements indépendants, indépendance et événements contraires, succession de deux épreuves indépendantes, épreuve de Bernoulli, répétition d'épreuves identiques et indépendantes (arbres, n ≤ 4)

À propos de cette page

Ce devoir surveillé sur « Indépendance et répétition d'épreuves » en première permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : L'essentiel, Reconnaître deux événements indépendants, Indépendance et événements contraires, Succession de deux épreuves indépendantes. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en spécialité mathématiques.

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Devoir surveillé · Niveau difficile · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · 1ʳᵉ

Devoir surveillé – Indépendance et répétition d'épreuves

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Tester l'indépendance

(4 pts)

a) $A$ et $B$ vérifient $P (A) = 0, 55$ , $P (B) = 0, 2$ et $P (A \cap B) = 0, 11$ . Montrer que $A$ et $B$ sont indépendants.
b)Calculer $P (A \cup B)$ .
c)Calculer $P (\overset{―}{A} \cap B)$ en justifiant.
d)Sans calcul de quotient, donner $P_{B} (A)$ et justifier.

Exercice 2 – Indépendance et contraires

(4 pts)

$A$ et $B$ sont indépendants, avec $P (A) = 0, 8$ et $P (\overset{―}{B}) = 0, 35$ .
a) Calculer $P (A \cap B)$ .

a)Calculer $P (\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B})$ .
b)En déduire la probabilité qu'au moins un des deux événements soit réalisé.
c)Calculer la probabilité qu'un seul des deux événements soit réalisé.

Exercice 3 – Démonstration et incompatibilité

(4 pts)

a)Démontrer que si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overset{―}{B}$ sont indépendants.
b) $C$ et $D$ sont incompatibles avec $P (C) = 0, 25$ et $P (D) = 0, 45$ . Sont-ils indépendants ?
c)Calculer $P (C \cup D)$ .
d)Un élève écrit : « Deux événements indépendants n'ont aucune issue commune. » Expliquer son erreur.

Exercice 4 – Un sac et une roue

(4 pts)

Un sac contient 8 jetons dont 3 gagnants ; on en tire un au hasard ( $G$ : « jeton gagnant »). On fait ensuite tourner une roue indépendante qui affiche « jackpot » ( $J$ ) avec la probabilité $0, 16$ .
a) Calculer $P (G \cap J)$ .

a)Calculer la probabilité de n'obtenir ni jeton gagnant, ni jackpot.
b)En déduire $P (G \cup J)$ .
c)On note $E = G \cup J$ . Les événements $G$ et $E$ sont-ils indépendants ?

Exercice 5 – Quatre lancers francs

(4 pts)

Une basketteuse réussit chaque lancer franc avec la probabilité $0, 75$ , indépendamment des autres. Elle tire 4 lancers francs. Résultats à $10^{- 4}$ près.
a) Calculer la probabilité qu'elle réussisse les 4 lancers.

a)Calculer la probabilité qu'elle n'en réussisse aucun.
b)Calculer la probabilité qu'elle en réussisse exactement 3.
c)Calculer la probabilité qu'elle en réussisse au plus 2.

Bon courage !

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Voir le corrigé et le barème

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · 1ʳᵉ

Corrigé et barème – Indépendance et répétition d'épreuves

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Exercice 1 – Tester l'indépendance

(4 pts)

a) $P (A) \times P (B) = 0, 55 \times 0, 2 = 0, 11 = P (A \cap B)$ → indépendants. (1)
b) $P (A \cup B) = 0, 55 + 0, 2 - 0, 11 =$ $0, 64$ . (1)
c) $\overset{―}{A}$ et $B$ indépendants (contraire) : $0, 45 \times 0, 2 =$ $0, 09$ . (1)
d) $P (B) \neq 0$ et indépendance → $P_{B} (A) = P (A) =$ $0, 55$ . (1)

Erreur fréquente — Conclure à l'indépendance sans avoir comparé explicitement $P (A \cap B)$ au produit $P (A) \times P (B)$ .

Exercice 2 – Indépendance et contraires

(4 pts)

a) $P (B) = 0, 65$ ; $P (A \cap B) = 0, 8 \times 0, 65 =$ $0, 52$ . (1)
b) $\overset{―}{A}$ , $\overset{―}{B}$ indépendants : $0, 2 \times 0, 35 =$ $0, 07$ . (1)
c)Contraire de $\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}$ : $1 - 0, 07 =$ $0, 93$ . (1)
d) $0, 93 - 0, 52 =$ $0, 41$ (contrôle : $0, 8 \times 0, 35 + 0, 2 \times 0, 65 = 0, 28 + 0, 13$ ). (1)

À retenir — « Au moins un » se calcule le plus vite par le contraire « aucun », qui est une intersection de contraires indépendants.

Exercice 3 – Démonstration et incompatibilité

(4 pts)

a) $P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \overset{―}{B})$ (incompatibles, réunion $A$ ) ; donc $P (A \cap \overset{―}{B}) = P (A) - P (A) P (B) = P (A) (1 - P (B)) = P (A) P (\overset{―}{B})$ → indépendants. (1)
b) $P (C \cap D) = 0$ mais $P (C) P (D) = 0, 1125 \neq 0$ → non indépendants. (1)
c)Incompatibles : $0, 25 + 0, 45 =$ $0, 7$ . (1)
d)Il confond avec « incompatibles » : des événements indépendants de probabilités non nulles vérifient $P (A \cap B) = P (A) P (B) > 0$ , donc ont des issues communes. (1)

Le point clé — Dans la démonstration, tout repose sur la partition de $A$ en $A \cap B$ et $A \cap \overset{―}{B}$ ; il faut l'écrire explicitement.

Exercice 4 – Un sac et une roue

(4 pts)

a) $P (G) = \frac{3}{8} = 0, 375$ ; épreuves indépendantes : $0, 375 \times 0, 16 =$ $0, 06$ . (1)
b) $P (\overset{―}{G} \cap \overset{―}{J}) = 0, 625 \times 0, 84 =$ $0, 525$ . (1)
c) $P (G \cup J) = 1 - 0, 525 =$ $0, 475$ . (1)
d) $G \subset E$ donc $P (G \cap E) = 0, 375$ ; $P (G) P (E) = 0, 375 \times 0, 475 = 0, 178125$ → non indépendants. (1)

Attention — Deux épreuves indépendantes n'impliquent pas que tous les événements construits à partir d'elles soient indépendants entre eux.

Exercice 5 – Quatre lancers francs

(4 pts)

a)Répétition de 4 épreuves de Bernoulli ( $p = 0, 75$ ) : $0, 75^{4} = 0, 31640625 \approx$ $0, 3164$ . (1)
b) $0, 25^{4} = 0, 00390625 \approx$ $0, 0039$ . (1)
c)4 chemins de probabilité $0, 75^{3} \times 0, 25 = 0, 10546875$ : $0, 421875 \approx$ $0, 4219$ . (1)
d)Contraire de « 3 ou 4 » : $1 - 0, 31640625 - 0, 421875 = 0, 26171875 \approx$ $0, 2617$ . (1)

Repère — Pour « exactement $k$ succès », on multiplie toujours la probabilité d'un chemin par le nombre de chemins lus sur l'arbre.

Ce contrôle de spécialité mathématiques 1ʳᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Indépendance et répétition d'épreuves » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Tester l'indépendance/ 4 pts
Exercice 2 — Indépendance et contraires/ 4 pts
Exercice 3 — Démonstration et incompatibilité/ 4 pts
Exercice 4 — Un sac et une roue/ 4 pts
Exercice 5 — Quatre lancers francs/ 4 pts

Notions évaluées

L'essentiel, Reconnaître deux événements indépendants, Indépendance et événements contraires, Succession de deux épreuves indépendantes, Épreuve de Bernoulli et répétition d'épreuves, Méthodes.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Indépendance et répétition d'épreuves » ?: 120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Indépendance et répétition d'épreuves » du programme officiel de spécialité mathématiques en première, soit L'essentiel, Reconnaître deux événements indépendants, Indépendance et événements contraires, Succession de deux épreuves indépendantes.

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