Comment savoir si deux événements sont indépendants ?

On calcule séparément P(A), P(B) et P(A B), puis on compare P(A B) au produit P(A)× P(B). S'ils sont égaux, les événements sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas. Lorsque P(A)≠ 0, cela revient à vérifier que P_A(B)=P(B).

Quelle différence entre événements indépendants et incompatibles ?

Deux événements incompatibles n'ont aucune issue commune : P(A B)=0. Deux événements indépendants vérifient P(A B)=P(A)× P(B) : la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre. Si P(A) et P(B) sont non nulles, deux événements incompatibles ne sont jamais indépendants.

Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli en 1re ?

C'est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues : le succès, de probabilité p, et l'échec, de probabilité 1-p. Le nombre p est appelé paramètre de l'épreuve. Lancer une pièce et regarder si l'on obtient pile en est un exemple, avec p=0,5.

Comment calculer la probabilité d'obtenir au moins un succès ?

On passe par l'événement contraire « aucun succès ». Pour n répétitions identiques et indépendantes d'une épreuve de paramètre p, il correspond à un seul chemin de l'arbre, de probabilité (1-p)^n. La probabilité cherchée vaut donc 1-(1-p)^n, et non n× p.

Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Indépendance et répétition d'épreuves

Événements indépendants, indépendance et événements contraires, succession de deux épreuves indépendantes, épreuve de Bernoulli, répétition d'épreuves identiques et indépendantes (arbres, n ≤ 4)

À propos de cette page

Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Indépendance et répétition d'épreuves » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Reconnaître deux événements indépendants, Indépendance et événements contraires, Succession de deux épreuves indépendantes. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.

L'essentiel

Définition — événements indépendants. Deux événements

A

B

d'un même univers sont indépendants lorsque

P (A \cap B) = P (A) \times P (B) .

Propriété — lien avec les probabilités conditionnelles. Si

P (A) \neq 0

, alors

A

B

sont indépendants si et seulement si

P_{A} (B) = P (B)

: savoir que

A

est réalisé ne modifie pas la probabilité de

B

Propriété — événements contraires. Si

A

B

sont indépendants, alors

A

\overset{―}{B}

\overset{―}{A}

B

\overset{―}{A}

\overset{―}{B}

sont aussi indépendants.

Définition — épreuve de Bernoulli. Expérience aléatoire à deux issues : le succès

S

, de probabilité

p

, et l'échec

\overset{―}{S}

, de probabilité

1 - p

. Le nombre

p

est le paramètre de l'épreuve.

Répétition d'épreuves identiques et indépendantes. Si l'on répète

n

fois (

n ⩽ 4

dans ce chapitre) la même épreuve de Bernoulli de façon indépendante, un chemin de l'arbre comportant

k

succès et

n - k

échecs a pour probabilité

p^{k} (1 - p)^{n - k}

Reconnaître deux événements indépendants

Pour savoir si $A$ et $B$ sont indépendants, on calcule les trois probabilités $P (A)$ , $P (B)$ , $P (A \cap B)$ et on compare $P (A \cap B)$ au produit $P (A) \times P (B)$ .

Exemple. On lance un dé équilibré à six faces.

A

= « obtenir un nombre pair »

= {2; 4; 6}

B

= « obtenir au plus 2 »

= {1; 2}

C

= « obtenir au moins 4 »

= {4; 5; 6}

.
•

A \cap B = {2}

P (A \cap B) = \frac{1}{6}

P (A) \times P (B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

. $A$ et $B$ sont indépendants.
•

A \cap C = {4; 6}

P (A \cap C) = \frac{1}{3}

alors que

P (A) \times P (C) = \frac{1}{4}

. $A$ et $C$ ne sont pas indépendants.

Pourquoi $P_{A} (B) = P (B)$ ? Si

P (A) \neq 0

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

. Cette quantité vaut

P (B)

exactement lorsque

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

. Dans l'exemple :

P_{A} (B) = \frac{1 / 6}{1 / 2} = \frac{1}{3} = P (B)

Hypothèse de modélisation. Dans un énoncé, l'indépendance est souvent donnée (« on suppose que les pannes surviennent indépendamment ») : on peut alors multiplier les probabilités. Sans cette information, il faut la démontrer par le calcul.

Indépendance et événements contraires

Propriété. Si

A

B

sont indépendants, alors

A

\overset{―}{B}

sont indépendants.

Démonstration (exigible). Les événements $A \cap B$ et $A \cap \overset{―}{B}$ sont incompatibles et leur réunion est $A$ , donc $P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \overset{―}{B})$ .
Ainsi $P (A \cap \overset{―}{B}) = P (A) - P (A \cap B)$ .
Comme $A$ et $B$ sont indépendants, $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ , d'où $P (A \cap \overset{―}{B}) = P (A) - P (A) P (B) = P (A) (1 - P (B))$ .
Or $1 - P (B) = P (\overset{―}{B})$ , donc $P (A \cap \overset{―}{B}) = P (A) \times P (\overset{―}{B})$ : $A$ et $\overset{―}{B}$ sont indépendants.
En appliquant ce résultat au couple $(\overset{―}{B}, A)$ , puis à $(\overset{―}{A}, \overset{―}{B})$ , on obtient les deux autres cas.

Exemple.

A

B

indépendants,

P (A) = 0, 3

P (B) = 0, 6

P (A \cap \overset{―}{B}) = 0, 3 \times 0, 4 = 0, 12

;

P (\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}) = 0, 7 \times 0, 4 = 0, 28

.
Donc

P (A \cup B) = 1 - P (\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}) = 1 - 0, 28 = 0, 72

Succession de deux épreuves indépendantes

Deux épreuves sont indépendantes lorsque le résultat de la première n'influe pas sur celui de la seconde (lancers successifs, tirages avec remise, appareils sans lien…).

Modélisation. Une issue est un couple

(x; y)

P ((x; y)) = P (x) \times P (y) .

Sur l'arbre, les branches du second niveau portent les mêmes probabilités quel que soit le résultat du premier niveau.

Exemple. On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré à six faces. La probabilité d'obtenir « pile puis 6 » est

\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}

Contre-exemple. Deux tirages sans remise dans une urne ne sont pas indépendants : la composition de l'urne change après le premier tirage, donc les probabilités du second niveau dépendent de la branche.

Épreuve de Bernoulli et répétition d'épreuves

On répète $n$ fois ( $n ⩽ 4$ ), de façon indépendante, une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ . L'arbre comporte $2^{n}$ chemins ; chaque chemin se lit comme une suite de $S$ et de $\overset{―}{S}$ .

Nombre d'épreuves $n$	Nombre de chemins	Chemins à $0, 1, \dots, n$ succès (comptés sur l'arbre)
2	4	1 ; 2 ; 1
3	8	1 ; 3 ; 3 ; 1
4	16	1 ; 4 ; 6 ; 4 ; 1

Exemple.

p = 0, 2

n = 3

.
• « Trois succès » : un seul chemin

S S S

, de probabilité

0, 2^{3} = 0, 008

.
• « Exactement un succès » : trois chemins

S \overset{―}{S} \overset{―}{S}

\overset{―}{S} S \overset{―}{S}

\overset{―}{S} \overset{―}{S} S

, chacun de probabilité

0, 2 \times 0, 8^{2} = 0, 128

; total

3 \times 0, 128 = 0, 384

.
• « Au moins un succès » :

1 - 0, 8^{3} = 1 - 0, 512 = 0, 488

Méthodes

Méthode 1 — Démontrer que deux événements sont (ou ne sont pas) indépendants

Calculer $P (A)$ , $P (B)$ et $P (A \cap B)$ (tableau, énoncé, arbre).
Calculer le produit $P (A) \times P (B)$ .
Comparer avec $P (A \cap B)$ et conclure par une phrase.

Exemple rédigé.

P (A) = 0, 45

P (B) = 0, 4

P (A \cap B) = 0, 18

. On a

P (A) \times P (B) = 0, 45 \times 0, 4 = 0, 18 = P (A \cap B)

, donc $A$ et $B$ sont indépendants.

Méthode 2 — Calculer $P (A \cup B)$ quand $A$ et $B$ sont indépendants

Calculer $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .
Appliquer $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
Contrôler avec $1 - P (\overset{―}{A}) \times P (\overset{―}{B})$ .

Exemple rédigé.

P (A) = 0, 25

P (B) = 0, 7

, indépendants.

P (A \cap B) = 0, 175

, donc

P (A \cup B) = 0, 25 + 0, 7 - 0, 175 = 0, 775

. Contrôle :

1 - 0, 75 \times 0, 3 = 1 - 0, 225 = 0, 775

Méthode 3 — « Au moins un succès » : passer par le contraire

Identifier le contraire : « aucun succès ».
Il correspond au seul chemin $\overset{―}{S} \overset{―}{S} \dots \overset{―}{S}$ , de probabilité $(1 - p)^{n}$ .
Conclure : $P (au moins un succès) = 1 - (1 - p)^{n}$ .

Exemple rédigé.

n = 4

p = 0, 1

P = 1 - 0, 9^{4} = 1 - 0, 6561 = 0, 3439

Méthode 4 — Probabilité d'obtenir exactement $k$ succès ( $n ⩽ 4$ )

Lister (ou compter sur l'arbre) les chemins à $k$ succès.
Calculer la probabilité d'un chemin : $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .
Multiplier par le nombre de chemins (ils sont incompatibles).

Exemple rédigé.

n = 3

p = 0, 25

k = 1

: trois chemins, chacun de probabilité

0, 25 \times 0, 75^{2} = 0, 140625

. Probabilité cherchée :

3 \times 0, 140625 = 0, 421875

Pièges et erreurs classiques

Indépendants ≠ incompatibles. Incompatibles :

P (A \cap B) = 0

. Indépendants :

P (A \cap B) = P (A) P (B)

. Si

P (A) > 0

P (B) > 0

, deux événements incompatibles ne sont jamais indépendants.

Multiplier sans justification. La formule

P (A \cap B) = P (A) \times P (B)

n'est valable que si l'indépendance est donnée ou démontrée. En général,

P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)

« Au moins un » n'est pas « $n \times p$ ». Avec

p = 0, 4

n = 3

3 \times 0, 4 = 1, 2 > 1

: absurde. La bonne valeur est

1 - 0, 6^{3} = 0, 784

Oublier des chemins. « Exactement deux succès sur trois » correspond à trois chemins, pas à un seul.

Condition $P (A) \neq 0$ . La caractérisation

P_{A} (B) = P (B)

n'a de sens que si

P (A) \neq 0

; la définition par le produit, elle, s'applique toujours.

En bref

$A$ et $B$ indépendants $⟺ P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ ; si $P (A) \neq 0$ , c'est $P_{A} (B) = P (B)$ .
L'indépendance se transmet aux contraires : $A$ et $\overset{―}{B}$ , $\overset{―}{A}$ et $\overset{―}{B}$ …
Deux épreuves indépendantes : on multiplie les probabilités le long des branches, identiques au second niveau.
Épreuve de Bernoulli : deux issues, succès ( $p$ ) et échec ( $1 - p$ ).
$n$ répétitions indépendantes : un chemin à $k$ succès vaut $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ; on multiplie par le nombre de chemins.
« Au moins un succès » $= 1 - (1 - p)^{n}$ .

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs