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Indépendance et répétition d'épreuves

Événements indépendants, indépendance et événements contraires, succession de deux épreuves indépendantes, épreuve de Bernoulli, répétition d'épreuves identiques et indépendantes (arbres, n ≤ 4)

À propos de cette page

Ce QCM sur « Indépendance et répétition d'épreuves » en première teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de première. Au programme : L'essentiel, Reconnaître deux événements indépendants, Indépendance et événements contraires, Succession de deux épreuves indépendantes. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en première.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque :
- A. $P (A \cap B) = P (A) + P (B)$
- B. $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$
- C. $P (A \cap B) = 0$
- D. $P (A \cup B) = P (A) \times P (B)$
Réponse
B. $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ — C'est la définition : la probabilité de l'intersection est le produit des probabilités. $P (A \cap B) = 0$ caractérise les événements incompatibles.
$A$ et $B$ sont indépendants, $P (A) = 0, 5$ et $P (B) = 0, 2$ . Alors $P (A \cap B)$ vaut :
- A. 0,1
- B. 0,7
- C. 0,25
- D. 0,3
Réponse
A. 0,1 — $P (A \cap B) = 0, 5 \times 0, 2 = 0, 1$ . Additionner (0,7) est une confusion avec la réunion d'événements incompatibles.
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire :
- A. à trois issues équiprobables
- B. dont toutes les issues sont équiprobables
- C. sans aucune issue certaine
- D. à deux issues : succès et échec
Réponse
D. à deux issues : succès et échec — Une épreuve de Bernoulli a exactement deux issues, succès (probabilité $p$ ) et échec (probabilité $1 - p$ ) ; elles ne sont pas forcément équiprobables.
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overset{―}{B}$ sont :
- A. incompatibles
- B. contraires
- C. indépendants
- D. égaux
Réponse
C. indépendants — Propriété du cours (démonstration exigible) : l'indépendance se transmet aux événements contraires.
On lance deux fois une pièce équilibrée. La probabilité d'obtenir deux fois pile est :
- A. 0,25
- B. 0,5
- C. 0,125
- D. 1
Réponse
A. 0,25 — Les lancers sont indépendants : $0, 5 \times 0, 5 = 0, 25$ . La valeur 0,125 correspondrait à trois lancers.
On répète trois fois la même épreuve de Bernoulli. L'arbre complet comporte :
- A. 3 chemins
- B. 6 chemins
- C. 8 chemins
- D. 27 chemins
Réponse
C. 8 chemins — Chaque épreuve double le nombre de branches : $2 \times 2 \times 2 = 8$ chemins.
$A$ et $B$ sont indépendants, $P (A) = 0, 7$ et $P (B) = 0, 4$ . Alors $P_{A} (B)$ vaut :
- A. 0,7
- B. 0,28
- C. 0,3
- D. 0,4
Réponse
D. 0,4 — Comme $P (A) \neq 0$ et que $A$ , $B$ sont indépendants, $P_{A} (B) = P (B) = 0, 4$ . La valeur 0,28 est $P (A \cap B)$ .
Deux événements incompatibles, de probabilités non nulles, sont :
- A. toujours indépendants
- B. jamais indépendants
- C. parfois indépendants
- D. contraires l'un de l'autre
Réponse
B. jamais indépendants — $P (A \cap B) = 0$ alors que $P (A) \times P (B) > 0$ : l'égalité de l'indépendance est impossible.

Niveau moyen — 8 questions

$A$ et $B$ sont indépendants, $P (A) = 0, 35$ et $P (B) = 0, 2$ . Alors $P (A \cup B)$ vaut :
- A. 0,55
- B. 0,07
- C. 0,48
- D. 0,52
Réponse
C. 0,48 — $P (A \cap B) = 0, 07$ , donc $P (A \cup B) = 0, 35 + 0, 2 - 0, 07 = 0, 48$ . Contrôle : $1 - 0, 65 \times 0, 8 = 0, 48$ .
On lance deux fois un dé équilibré à six faces. Probabilité d'obtenir deux fois un nombre supérieur ou égal à 5 :
- A. $\frac{2}{9}$
- B. $\frac{1}{3}$
- C. $\frac{1}{36}$
- D. $\frac{1}{9}$
Réponse
D. $\frac{1}{9}$ — À chaque lancer, $P (⩾ 5) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ . Les lancers sont indépendants : $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ .
Épreuve de Bernoulli de paramètre $0, 3$ répétée deux fois de façon indépendante. Probabilité d'exactement un succès :
- A. 0,42
- B. 0,21
- C. 0,09
- D. 0,49
Réponse
A. 0,42 — Deux chemins $S \overset{―}{S}$ et $\overset{―}{S} S$ , chacun de probabilité $0, 3 \times 0, 7 = 0, 21$ : total $0, 42$ .
Épreuve de paramètre $0, 5$ répétée quatre fois de façon indépendante. Probabilité de n'obtenir aucun succès :
- A. 0,5
- B. 0,0625
- C. 0,25
- D. 0,125
Réponse
B. 0,0625 — Un seul chemin sans succès : $0, 5^{4} = \frac{1}{16} = 0, 0625$ .
$A$ et $B$ sont indépendants, $P (A) = 0, 2$ et $P (A \cap B) = 0, 05$ . Alors $P (B)$ vaut :
- A. 0,01
- B. 0,15
- C. 0,0625
- D. 0,25
Réponse
D. 0,25 — $P (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{0, 05}{0, 2} = 0, 25$ . Diviser par $P (\overset{―}{A}) = 0, 8$ donnerait 0,0625 : erreur.
Une urne contient 3 boules rouges et 2 noires. On tire deux boules avec remise. Probabilité d'obtenir deux rouges :
- A. $\frac{9}{25}$
- B. $\frac{3}{10}$
- C. $\frac{12}{25}$
- D. $\frac{3}{5}$
Réponse
A. $\frac{9}{25}$ — Avec remise, les tirages sont indépendants : $\frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$ . Le résultat $\frac{3}{10}$ correspond à un tirage sans remise.
Pour quatre répétitions d'une épreuve de Bernoulli, combien de chemins de l'arbre comportent exactement deux succès ?
- A. 4
- B. 6
- C. 8
- D. 16
Réponse
B. 6 — On compte les places des deux succès parmi quatre : $S S \overset{―}{S} \overset{―}{S}$ , $S \overset{―}{S} S \overset{―}{S}$ , $S \overset{―}{S} \overset{―}{S} S$ , $\overset{―}{S} S S \overset{―}{S}$ , $\overset{―}{S} S \overset{―}{S} S$ , $\overset{―}{S} \overset{―}{S} S S$ : 6 chemins.
$A$ et $B$ sont indépendants, $P (A) = 0, 85$ et $P (\overset{―}{B}) = 0, 6$ . Alors $P (A \cap B)$ vaut :
- A. 0,51
- B. 0,4
- C. 0,34
- D. 0,45
Réponse
C. 0,34 — $P (B) = 1 - 0, 6 = 0, 4$ , donc $P (A \cap B) = 0, 85 \times 0, 4 = 0, 34$ . La valeur 0,51 est $P (A \cap \overset{―}{B})$ .

Niveau difficile — 8 questions

$A$ et $B$ ont des probabilités non nulles. Quelle affirmation est vraie ?
- A. Incompatibles implique forcément indépendants
- B. Indépendants implique non incompatibles
- C. Indépendants implique contraires
- D. Contraires implique indépendants
Réponse
B. Indépendants implique non incompatibles — Si $A$ et $B$ sont indépendants, $P (A \cap B) = P (A) P (B) > 0$ , donc ils ne sont pas incompatibles. Des contraires sont incompatibles, donc jamais indépendants ici.
Un événement $A$ de probabilité nulle et un événement $B$ quelconque :
- A. ne sont jamais indépendants
- B. sont indépendants seulement si $B = A$
- C. sont toujours indépendants
- D. sont incompatibles et dépendants
Réponse
C. sont toujours indépendants — $P (A \cap B) ⩽ P (A) = 0$ , donc $P (A \cap B) = 0 = P (A) \times P (B)$ : l'égalité est toujours vraie.
On lance deux dés équilibrés. $A$ : « 6 au premier dé », $B$ : « la somme vaut 7 ». Les événements $A$ et $B$ sont :
- A. incompatibles
- B. dépendants car $B$ dépend de $A$
- C. contraires
- D. indépendants
Réponse
D. indépendants — $P (A) = \frac{1}{6}$ , $P (B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ et $A \cap B = {(6; 1)}$ : $P (A \cap B) = \frac{1}{36} = P (A) P (B)$ . Ils sont indépendants, contre l'intuition.
Épreuve de paramètre $0, 5$ répétée quatre fois. La probabilité d'obtenir exactement deux succès est :
- A. $\frac{3}{8}$
- B. $\frac{1}{2}$
- C. $\frac{1}{8}$
- D. $\frac{1}{16}$
Réponse
A. $\frac{3}{8}$ — Six chemins de probabilité $\frac{1}{16}$ : $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ . Répondre $\frac{1}{16}$ revient à oublier le nombre de chemins.
Un élève affirme : « $P (A) = 0, 5$ et $P (B) = 0, 5$ , donc $A$ et $B$ sont indépendants. » Que répondre ?
- A. Vrai, car deux événements de même probabilité le sont
- B. Vrai, car la somme de leurs probabilités vaut 1
- C. Faux : on ne peut rien dire sans $P (A \cap B)$
- D. Faux, car ils sont forcément contraires
Réponse
C. Faux : on ne peut rien dire sans $P (A \cap B)$ — L'indépendance porte sur $P (A \cap B)$ : il faut vérifier que $P (A \cap B) = 0, 25$ . Les seules probabilités de $A$ et $B$ ne suffisent pas.
Épreuve de paramètre $0, 1$ répétée trois fois. Probabilité d'obtenir au moins un succès :
- A. 0,271
- B. 0,3
- C. 0,243
- D. 0,729
Réponse
A. 0,271 — $1 - 0, 9^{3} = 1 - 0, 729 = 0, 271$ . Le calcul $3 \times 0, 1 = 0, 3$ compte plusieurs fois les chemins à plusieurs succès ; 0,243 est « exactement un ».
On tire successivement deux boules sans remise dans une urne de 5 boules dont 2 rouges. $R_{1}$ : « 1re rouge », $R_{2}$ : « 2e rouge ». Ces événements :
- A. sont indépendants, car les tirages se suivent
- B. ne sont pas indépendants
- C. sont incompatibles l'un avec l'autre
- D. sont contraires
Réponse
B. ne sont pas indépendants — $P (R_{1}) = P (R_{2}) = \frac{2}{5}$ mais $P (R_{1} \cap R_{2}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10} \neq \frac{4}{25}$ : sans remise, pas d'indépendance.
$A$ et $B$ sont indépendants, $P (A) = 0, 3$ et $P (A \cup B) = 0, 51$ . Alors $P (B)$ vaut :
- A. 0,21
- B. 0,7
- C. 0,51
- D. 0,3
Réponse
D. 0,3 — $0, 51 = 0, 3 + x - 0, 3 x$ , d'où $0, 7 x = 0, 21$ et $x = 0, 3$ . Répondre 0,21 revient à soustraire sans tenir compte de l'intersection.

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