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Indépendance et répétition d'épreuves

Événements indépendants, indépendance et événements contraires, succession de deux épreuves indépendantes, épreuve de Bernoulli, répétition d'épreuves identiques et indépendantes (arbres, n ≤ 4)

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Indépendance et répétition d'épreuves » en première permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de première et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Reconnaître deux événements indépendants, Indépendance et événements contraires, Succession de deux épreuves indépendantes. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser spécialité mathématiques en première.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Tester l'indépendance à partir des probabilités

Facile

$A$ , $B$ et $C$ sont trois événements d'un même univers tels que $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 35$ , $P (C) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 21$ et $P (A \cap C) = 0, 28$ .

a) Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
b) Les événements $A$ et $C$ sont-ils indépendants ?
c) Calculer $P_{A} (B)$ et $P_{A} (C)$ (arrondie au millième), puis interpréter les résultats.

a) $P (A) \times P (B) = 0, 6 \times 0, 35 = 0, 21$ et $P (A \cap B) = 0, 21$ . Les deux nombres sont égaux, donc $A$ et $B$ sont indépendants.

b) $P (A) \times P (C) = 0, 6 \times 0, 5 = 0, 3$ , alors que $P (A \cap C) = 0, 28$ . Comme $0, 28 \neq 0, 3$ , $A$ et $C$ ne sont pas indépendants.

c) $P (A) \neq 0$ , donc $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{0, 21}{0, 6} = 0, 35$ et $P_{A} (C) = \frac{0, 28}{0, 6} \approx 0, 467$ .
On retrouve $P_{A} (B) = P (B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$ , ce qui traduit l'indépendance.
En revanche $P_{A} (C) \approx 0, 467 < 0, 5 = P (C)$ : la réalisation de $A$ rend $C$ un peu moins probable.

Exercice 2 — Dé à huit faces

Facile

On lance un dé équilibré à huit faces numérotées de 1 à 8. On considère les événements $A$ : « le nombre est pair », $B$ : « le nombre est un multiple de 3 », $C$ : « le nombre est inférieur ou égal à 4 » et $D$ : « le nombre est premier ».

a) Déterminer $P (A)$ , $P (B)$ , $P (C)$ et $P (D)$ .
b) Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
c) Les événements $A$ et $C$ sont-ils indépendants ?
d) Les événements $A$ et $D$ sont-ils indépendants ?

a) Le dé est équilibré : situation d'équiprobabilité sur 8 issues. $A = {2; 4; 6; 8}$ , $B = {3; 6}$ , $C = {1; 2; 3; 4}$ , $D = {2; 3; 5; 7}$ . Donc $P (A) = \frac{1}{2}$ , $P (B) = \frac{1}{4}$ , $P (C) = \frac{1}{2}$ , $P (D) = \frac{1}{2}$ .

b) $A \cap B = {6}$ , donc $P (A \cap B) = \frac{1}{8}$ . Or $P (A) \times P (B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ . $A$ et $B$ sont indépendants.

c) $A \cap C = {2; 4}$ , donc $P (A \cap C) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ et $P (A) \times P (C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ . $A$ et $C$ sont indépendants.

d) $A \cap D = {2}$ (2 est le seul nombre premier pair), donc $P (A \cap D) = \frac{1}{8}$ , alors que $P (A) \times P (D) = \frac{1}{4}$ . $A$ et $D$ ne sont pas indépendants : savoir que le nombre est pair rend « premier » beaucoup moins probable.

Exercice 3 — Une urne puis une pièce

Facile

On tire une boule au hasard dans une urne contenant 4 boules vertes et 6 boules jaunes, puis on lance une pièce truquée pour laquelle la probabilité d'obtenir pile est $0, 55$ . On note $V$ : « la boule est verte », $J$ : « la boule est jaune », $Π$ : « on obtient pile » et $F$ : « on obtient face ».

a) Expliquer pourquoi les deux épreuves sont indépendantes, puis construire l'arbre pondéré de l'expérience.
b) Calculer la probabilité d'obtenir une boule verte et pile.
c) Calculer la probabilité d'obtenir une boule jaune et face.
d) En déduire la probabilité d'obtenir une boule verte ou pile.

a) Le résultat du tirage n'a aucune influence sur le lancer de la pièce : les épreuves sont indépendantes. $P (V) = \frac{4}{10} = 0, 4$ et $P (J) = 0, 6$ . Arbre : premier niveau $V$ (0,4) et $J$ (0,6) ; second niveau, sur chaque branche, $Π$ (0,55) et $F$ (0,45).

b) Par indépendance, $P (V \cap Π) = 0, 4 \times 0, 55 =$ $0, 22$ .

c) $P (J \cap F) = 0, 6 \times 0, 45 =$ $0, 27$ .

d) L'événement « verte ou pile » est le contraire de « jaune et face » (ni verte, ni pile). Donc $P (V \cup Π) = 1 - 0, 27 =$ $0, 73$ .
Vérification : $P (V) + P (Π) - P (V \cap Π) = 0, 4 + 0, 55 - 0, 22 = 0, 73$ .

Exercice 4 — Indépendance et contraires

Moyen

$A$ et $B$ sont deux événements indépendants tels que $P (A) = 0, 15$ et $P (B) = 0, 64$ .

a) Calculer $P (A \cap B)$ .
b) Calculer $P (\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B})$ en justifiant la méthode.
c) En déduire $P (A \cup B)$ .
d) Calculer la probabilité qu'un seul des deux événements soit réalisé.

a) $A$ et $B$ sont indépendants, donc $P (A \cap B) = 0, 15 \times 0, 64 =$ $0, 096$ .

b) D'après le cours, si $A$ et $B$ sont indépendants, $\overset{―}{A}$ et $\overset{―}{B}$ le sont aussi. Avec $P (\overset{―}{A}) = 0, 85$ et $P (\overset{―}{B}) = 0, 36$ : $P (\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}) = 0, 85 \times 0, 36 =$ $0, 306$ .

c) $A \cup B$ est le contraire de $\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}$ : $P (A \cup B) = 1 - 0, 306 =$ $0, 694$ . Contrôle : $0, 15 + 0, 64 - 0, 096 = 0, 694$ .

d) « Un seul des deux » = « au moins un » privé de « les deux » : $0, 694 - 0, 096 =$ $0, 598$ .
Autre calcul : $P (A \cap \overset{―}{B}) + P (\overset{―}{A} \cap B) = 0, 15 \times 0, 36 + 0, 85 \times 0, 64 = 0, 054 + 0, 544 = 0, 598$ .

Exercice 5 — Retrouver une probabilité inconnue

Moyen

$A$ et $B$ sont deux événements indépendants tels que $P (A) = 0, 4$ et $P (A \cup B) = 0, 58$ .

a) Montrer que $P (B) = 0, 3$ .
b) Calculer $P (A \cap B)$ .
c) Calculer $P (\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B})$ de deux façons différentes.

a) Notons $x = P (B)$ . Par indépendance, $P (A \cap B) = 0, 4 x$ . La formule $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ donne $0, 58 = 0, 4 + x - 0, 4 x$ , soit $0, 6 x = 0, 18$ , d'où $x = 0, 3$ .

b) $P (A \cap B) = 0, 4 \times 0, 3 =$ $0, 12$ .

c) Première façon : $\overset{―}{A}$ et $\overset{―}{B}$ sont indépendants (contraires d'événements indépendants), donc $P (\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}) = 0, 6 \times 0, 7 = 0, 42$ .
Seconde façon : $\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}$ est le contraire de $A \cup B$ , donc $P (\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}) = 1 - 0, 58 = 0, 42$ .
Les deux calculs concordent : $P (\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}) = 0, 42$ .

Exercice 6 — Trois tirs sur une cible

Moyen

Un archer atteint la cible avec une probabilité de $0, 7$ à chaque tir. Il tire trois flèches ; les tirs sont supposés indépendants.

a) Justifier que l'on est en présence d'une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Combien de chemins comporte l'arbre ?
b) Calculer la probabilité que les trois flèches atteignent la cible.
c) Calculer la probabilité qu'exactement deux flèches atteignent la cible.
d) Calculer la probabilité qu'au moins une flèche atteigne la cible.

a) Chaque tir a deux issues : succès $S$ « la flèche atteint la cible » ( $p = 0, 7$ ) et échec ( $0, 3$ ). On répète trois fois cette même épreuve de Bernoulli, de façon indépendante. L'arbre comporte $2^{3} =$ 8 chemins.

b) Un seul chemin $S S S$ : $0, 7^{3} =$ $0, 343$ .

c) Trois chemins réalisent deux succès : $S S \overset{―}{S}$ , $S \overset{―}{S} S$ , $\overset{―}{S} S S$ . Chacun a pour probabilité $0, 7^{2} \times 0, 3 = 0, 147$ . Ces chemins sont incompatibles, donc la probabilité vaut $3 \times 0, 147 =$ $0, 441$ .

d) Le contraire est « aucune flèche n'atteint la cible », chemin $\overset{―}{S} \overset{―}{S} \overset{―}{S}$ de probabilité $0, 3^{3} = 0, 027$ . La probabilité cherchée est $1 - 0, 027 =$ $0, 973$ .

Exercice 7 — Sport et musique au lycée

Moyen

Dans un lycée de 400 élèves, on relève la pratique d'un sport en club ( $S$ ) et d'un instrument de musique ( $M$ ). On choisit un élève au hasard.

	$S$	$\overset{―}{S}$	Total
$M$	54	66	120
$\overset{―}{M}$	126	154	280
Total	180	220	400

a) Calculer $P (S)$ , $P (M)$ et $P (S \cap M)$ .
b) Les événements $S$ et $M$ sont-ils indépendants ?
c) Sans lire le tableau, donner $P_{\overset{―}{S}} (\overset{―}{M})$ , puis vérifier avec le tableau.
d) Un élève affirme : « Comme $S$ et $M$ sont indépendants, aucun élève ne peut pratiquer à la fois un sport et un instrument. » Expliquer son erreur.

a) $P (S) = \frac{180}{400} = 0, 45$ ; $P (M) = \frac{120}{400} = 0, 3$ ; $P (S \cap M) = \frac{54}{400} = 0, 135$ .

b) $P (S) \times P (M) = 0, 45 \times 0, 3 = 0, 135 = P (S \cap M)$ . $S$ et $M$ sont indépendants.

c) $S$ et $M$ étant indépendants, $\overset{―}{S}$ et $\overset{―}{M}$ le sont aussi ; comme $P (\overset{―}{S}) \neq 0$ , $P_{\overset{―}{S}} (\overset{―}{M}) = P (\overset{―}{M}) = 1 - 0, 3 =$ $0, 7$ .
Vérification : $P_{\overset{―}{S}} (\overset{―}{M}) = \frac{154}{220} = 0, 7$ .

d) L'élève confond indépendants et incompatibles. « Aucun élève ne fait les deux » signifierait $P (S \cap M) = 0$ (incompatibilité). Or ici 54 élèves font les deux, et justement $P (S \cap M) = P (S) P (M) \neq 0$ . L'indépendance signifie que pratiquer un sport ne change pas la probabilité de jouer d'un instrument, pas que les deux sont exclusifs.

Exercice 8 — Fiabilité d'un appareil à quatre composants

Difficile

Un appareil comporte quatre composants identiques. Au cours d'une année, chacun tombe en panne avec une probabilité de $0, 08$ , indépendamment des autres. Les résultats seront arrondis au dix-millième.

a) Calculer la probabilité qu'aucun composant ne tombe en panne dans l'année.
b) En déduire la probabilité qu'au moins un composant tombe en panne.
c) Calculer la probabilité qu'exactement un composant tombe en panne.
d) L'appareil reste utilisable si au plus un composant est en panne. Calculer la probabilité qu'il soit utilisable au bout d'un an.

On appelle succès l'événement « le composant tombe en panne », de probabilité $p = 0, 08$ . L'état de l'appareil correspond à la répétition de 4 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; l'arbre comporte 16 chemins.

a) « Aucune panne » est le seul chemin sans succès : $0, 92^{4}$ . Or $0, 92^{2} = 0, 8464$ et $0, 8464^{2} = 0, 71639296$ . La probabilité vaut $\approx 0, 7164$ .

b) C'est l'événement contraire : $1 - 0, 71639296 = 0, 28360704$ , soit $\approx 0, 2836$ .

c) Quatre chemins comportent un seul succès (la panne concerne le 1er, le 2e, le 3e ou le 4e composant). Chacun a pour probabilité $0, 08 \times 0, 92^{3} = 0, 08 \times 0, 778688 = 0, 06229504$ . Total : $4 \times 0, 06229504 = 0, 24918016$ , soit $\approx 0, 2492$ .

d) « Au plus un composant en panne » est la réunion des événements incompatibles « aucune panne » et « exactement une panne » : $0, 71639296 + 0, 24918016 = 0, 96557312$ . L'appareil est utilisable avec une probabilité $\approx 0, 9656$ .

Exercice 9 — Incompatibles ou indépendants ?

Difficile

$A$ et $B$ sont deux événements tels que $P (A) = 0, 3$ et $P (B) = 0, 5$ .

a) On suppose $A$ et $B$ incompatibles. Calculer $P (A \cup B)$ . Sont-ils indépendants ?
b) On suppose désormais $A$ et $B$ indépendants. Calculer $P (A \cup B)$ .
c) Montrer que deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
d) Un événement $E$ vérifie $P (E) = 0$ . Montrer que $E$ est indépendant de tout événement $F$ .

a) Incompatibles : $P (A \cap B) = 0$ , donc $P (A \cup B) = 0, 3 + 0, 5 =$ $0, 8$ . Or $P (A) \times P (B) = 0, 15 \neq 0$ : ils ne sont pas indépendants.

b) Indépendants : $P (A \cap B) = 0, 15$ , donc $P (A \cup B) = 0, 3 + 0, 5 - 0, 15 =$ $0, 65$ .

c) Soient $A$ et $B$ incompatibles avec $P (A) > 0$ et $P (B) > 0$ . Alors $P (A \cap B) = 0$ tandis que $P (A) \times P (B) > 0$ comme produit de deux nombres strictement positifs. Donc $P (A \cap B) \neq P (A) \times P (B)$ : $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

d) $E \cap F \subset E$ , donc $0 ⩽ P (E \cap F) ⩽ P (E) = 0$ , d'où $P (E \cap F) = 0$ . Par ailleurs $P (E) \times P (F) = 0 \times P (F) = 0$ . L'égalité $P (E \cap F) = P (E) \times P (F)$ est vérifiée : $E$ est indépendant de tout événement $F$ . (C'est le cas limite où incompatibilité et indépendance coexistent.)

Exercice 10 — Paramètre inconnu

Difficile

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ inconnu est répétée trois fois de façon indépendante. La probabilité de n'obtenir aucun succès vaut $0, 064$ .

a) Montrer que $p = 0, 6$ .
b) Calculer la probabilité d'obtenir exactement un succès, puis exactement deux succès.
c) Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux succès.
d) Quel nombre de succès est le plus probable ? Justifier.

a) « Aucun succès » correspond au seul chemin $\overset{―}{S} \overset{―}{S} \overset{―}{S}$ , de probabilité $(1 - p)^{3}$ . Donc $(1 - p)^{3} = 0, 064$ . Comme $0, 4^{3} = 0, 064$ et que la fonction cube est strictement croissante, $1 - p = 0, 4$ , d'où $p = 0, 6$ .

b) Exactement un succès : 3 chemins de probabilité $0, 6 \times 0, 4^{2} = 0, 096$ , soit $0, 288$ .
Exactement deux succès : 3 chemins de probabilité $0, 6^{2} \times 0, 4 = 0, 144$ , soit $0, 432$ .

c) Trois succès : $0, 6^{3} = 0, 216$ . Donc $P (au moins deux) = 0, 432 + 0, 216 =$ $0, 648$ .

d) Récapitulatif : 0 succès : $0, 064$ ; 1 : $0, 288$ ; 2 : $0, 432$ ; 3 : $0, 216$ (total $1$ , ce qui contrôle les calculs). Deux succès est l'issue la plus probable.

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