Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : variations, extremums et courbes

Signe de la dérivée et sens de variation, extremums locaux, optimisation, inégalités et position de deux courbes, fonctions paires et impaires, méthode de Newton.

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benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Première

Variations, extremums et courbes

Fiche méthode

(Spécialité maths 1re · Analyse · Dérivation)

La démarche pour étudier une fonction

1. Je précise l’intervalle d’étude et je justifie que $f$ y est dérivable (polynôme, quotient dont le dénominateur ne s’annule pas…).

2. Je calcule $f' (x)$ et je le factorise : facteur commun, identité remarquable, racines d’un trinôme, même dénominateur.

3. J’étudie le signe de $f' (x)$ dans un tableau de signes (un carré ou un dénominateur au carré est positif).

4. Je conclus en citant le théorème « signe de la dérivée et variations », puis je complète le tableau de variations avec les images.

Le réflexe — un tableau de variations sans la phrase « d’après le théorème liant le signe de la dérivée et les variations » ni les images aux points remarquables ne rapporte pas tous les points.

Cas 1 · Dresser un tableau de variations

Réflexe — dériver, factoriser, signe de f′(x), flèches, puis images aux points où f′ s’annule.

Exemple. Questions types : « Étudier les variations de $g$ », « Dresser le tableau de variations ». Exemple : $g (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ sur $ℝ$ .

$g$ est un polynôme, dérivable sur $ℝ$ : $g' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$ $= 6 (x^{2} + x - 2) = 6 (x + 2) (x - 1)$ .

Ce trinôme est positif à l’extérieur de ses racines $- 2$ et $1$ , négatif entre elles. D’après le théorème, $g$ est croissante sur $] - \infty; - 2]$ , décroissante sur $[- 2; 1]$ , croissante sur $[1; + \infty [$ .

Images : $g (- 2) = - 16 + 12 + 24 = 20$ et $g (1) = 2 + 3 - 12 = - 7$ .

Attention — sur une réunion d’intervalles comme ℝ privé de 0, le théorème ne s’applique que sur chaque intervalle séparément.

Cas 2 · Justifier un extremum

Réflexe — f′(a) = 0 ET changement de signe de f′ en a ; + puis − : maximum ; − puis + : minimum.

Exemple. Questions types : « Montrer que $h$ admet un minimum », « Préciser la nature de l’extremum ». Exemple : $h (x) = x + \frac{4}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ .

$h' (x) = 1 - \frac{4}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2}}$ $= \frac{(x - 2) (x + 2)}{x^{2}}$ .

Sur $] 0; + \infty [$ , $x + 2 > 0$ et $x^{2} > 0$ : $h' (x)$ a le signe de $x - 2$ , négatif puis positif.

$h'$ s’annule en $2$ en passant de $-$ à $+$ : $h (2) = 2 + 2 = 4$ est le minimum de $h$ sur $] 0; + \infty [$ .

Attention — f′(a) = 0 sans changement de signe ne donne pas d’extremum (x³ en 0) ; sur un segment, comparer aussi les bornes.

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Cas 3 · Résoudre un problème d’optimisation

Réflexe — variable et intervalle, grandeur en fonction de x seul, variations, phrase-réponse avec unités.

Exemple. Questions types : « Quelles dimensions donnent l’aire maximale ? », « Pour quelle production le coût est-il minimal ? ». Exemple : pour $x$ centaines d’objets ( $x \in [0; 6]$ ), le bénéfice est $B (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 5$ milliers d’euros.

$B' (x) = - 3 x^{2} + 12 x = 3 x (4 - x)$ : positif sur $[0; 4]$ , négatif sur $[4; 6]$ .

$B$ est croissante puis décroissante : maximum $B (4) = - 64 + 96 - 5 = 27$ .

Le bénéfice est maximal, $27 000$ €, pour $400$ objets.

Attention — une racine de la dérivée hors de l’intervalle concret ne compte pas ; répondre à la question posée (dimension ou valeur).

Cas 4 · Inégalité et position de deux courbes

Réflexe — d(x) = f(x) − g(x) ; variations de d ; minimum ≥ 0 ⟹ f(x) ≥ g(x) et 𝒞f au-dessus de 𝒞g.

Exemple. Questions types : « Montrer que pour tout $x ⩾ 0$ … », « Étudier la position relative de $𝒞_{f}$ et $𝒞_{g}$ ». Exemple : $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 3 x^{2} - 4$ sur $[0; + \infty [$ .

$d (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ et $d' (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ .

Sur $[0; + \infty [$ : $d$ est décroissante sur $[0; 2]$ , croissante sur $[2; + \infty [$ ; son minimum est $d (2) = 8 - 12 + 4 = 0$ .

Donc $d (x) ⩾ 0$ : $x^{3} ⩾ 3 x^{2} - 4$ , et $𝒞_{f}$ est au-dessus de $𝒞_{g}$ sur $[0; + \infty [$ , les deux courbes se touchant au point d’abscisse $2$ .

Attention — c’est le signe de d qui compte, pas celui de d′ ; diviser une inégalité par un nombre négatif change son sens.

Cas 5 · Étudier la parité

Réflexe — ensemble symétrique ? calculer f(−x) avec parenthèses, comparer à f(x) et à −f(x).

Exemple. Questions types : « Montrer que $f$ est impaire », « Que peut-on dire de sa courbe ? ». Exemple : $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{2} + 1}$ sur $ℝ$ .

$ℝ$ est symétrique par rapport à $0$ , et $x^{2} + 1 > 0$ .

$f (- x) = \frac{2 (- x)^{3}}{(- x)^{2} + 1} = \frac{- 2 x^{3}}{x^{2} + 1} = - f (x)$ : $f$ est impaire.

Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère et $f (0) = 0$ .

Attention — si l’ensemble de définition n’est pas symétrique, la fonction n’est ni paire ni impaire, sans calcul.

Cas 6 · Appliquer la méthode de Newton

Réflexe — x₀ choisi avec le tableau de variations ; f(xₙ) et f′(xₙ) séparément ; xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ).

Exemple. Questions types : « Calculer $x_{1}$ et $x_{2}$ », « Expliquer ce que calcule le programme ». Exemple : approcher $\sqrt{3}$ avec $f (x) = x^{2} - 3$ et $x_{0} = 2$ .

$f' (x) = 2 x$ . $f (2) = 1$ et $f' (2) = 4$ : $x_{1} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{1}{16}$ et $f' (\frac{7}{4}) = \frac{7}{2}$ : $x_{2} = \frac{7}{4} - \frac{1}{56} = \frac{97}{56}$ .

$\frac{97}{56} \approx 1, 732 14$ , à comparer à $\sqrt{3} \approx 1, 732 05$ .

Attention — si f′(xₙ) = 0, la tangente est horizontale : la méthode s’arrête (division par zéro).

Les pièges

« f′(a) = 0, donc extremum » : faux sans changement de signe de f′.
Le maximum est une valeur f(a) ; il est atteint en x = a : ne pas confondre les deux.
Sur un segment, le maximum peut être atteint en une borne, où f′ ne s’annule pas.
Le théorème des variations ne vaut que sur un intervalle (1/x n’est pas décroissante sur ℝ privé de 0).
Calculer f(−x) sans parenthèses : −x² n’est pas (−x)².
Newton : jamais de x₀ où f′ s’annule.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour étudier une fonction avec sa dérivée, puis, pour chacun des six cas, les questions types et une réponse rédigée : dresser un tableau de variations, justifier un extremum, optimiser une aire, démontrer une inégalité, étudier la parité, appliquer la méthode de Newton. Elle se termine par les pièges les plus fréquents en devoir.

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