Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Fiche de révision : suites arithmétiques et croissance linéaire

Fonctions affines et croissance linéaire (rappels de seconde), suite arithmétique définie par récurrence ou de façon explicite, raison, terme de rang n, sens de variation, représentation graphique et problèmes de seuil, sans calculatrice.

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Suites arithmétiques et croissance linéaire

Fiche méthode

(Maths 1re (tronc commun) · Phénomènes d’évolution · Variation linéaire)

La démarche pour une question de suite arithmétique

1. Je traduis l’énoncé : quel est le premier terme ( $u_{0}$ ou $u_{1}$ ), que représente $n$ (mois, année, étape), quelle quantité s’ajoute ou se retire à chaque étape.

2. Je reconnais la suite : relation $u_{n + 1} = u_{n} + r$ , ou différence $u_{n + 1} - u_{n}$ constante calculée avec la lettre $n$ .

3. J’écris la forme explicite $u_{n} = u_{0} + n r$ (ou $u_{1} + (n - 1) r$ ) et je calcule le terme demandé.

4. Je conclus : sens de variation par le signe de $r$ , seuil par une inéquation et deux rangs vérifiés, réponse par une phrase dans le contexte.

Le réflexe — repérer le rang du premier terme et ce que représente n : le terme, l’année et le seuil en dépendent.

Cas 1 · Fonction affine et coefficient directeur

Réflexe — m = différence des images sur différence des antécédents, puis p avec un point connu ; le signe de m donne le sens de variation.

Exemple. Exemple : $f$ est affine, $f (2) = 11$ et $f (6) = 3$ . Déterminer $f (x)$ et le sens de variation de $f$ .

$m = \frac{3 - 11}{6 - 2} = \frac{- 8}{4} = - 2$ .

$f (2) = - 2 \times 2 + p = 11$ , donc $p = 15$ : $f (x) = - 2 x + 15$ . Contrôle : $f (6) = - 12 + 15 = 3$ .

$m < 0$ : $f$ est strictement décroissante.

Attention — dans un tableau dont les valeurs de x vont de 2 en 2 (ou de 5 en 5), on divise la hausse par ce pas pour obtenir m.

Cas 2 · Montrer qu’une suite est arithmétique (ou qu’elle ne l’est pas)

Réflexe — u(n+1) − u(n) calculé en gardant n : constant → arithmétique de raison ce nombre ; deux écarts différents → elle ne l’est pas.

Exemple. Exemple : $w_{n} = 4 n - 9$ et $z_{n} = 3 n^{2}$ . Ces suites sont-elles arithmétiques ?

$w_{n + 1} = 4 (n + 1) - 9 = 4 n - 5$ , donc $w_{n + 1} - w_{n} = 4 n - 5 - (4 n - 9) = 4$ : constant, $(w_{n})$ est arithmétique de raison $4$ , de premier terme $w_{0} = - 9$ .

$z_{0} = 0$ , $z_{1} = 3$ , $z_{2} = 12$ : $z_{1} - z_{0} = 3$ et $z_{2} - z_{1} = 9$ sont différents, $(z_{n})$ n’est pas arithmétique.

Attention — « les premiers écarts sont égaux » ne démontre rien ; seul le calcul avec la lettre n permet de conclure.

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Cas 3 · Terme de rang n, deux termes connus

Réflexe — u(n) = u(p) + (n − p)r : de u(p) à u(n), on ajoute (n − p) fois la raison.

Exemple. Exemple : $(u_{n})$ est arithmétique, $u_{5} = 31$ et $u_{12} = 59$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et calculer $u_{30}$ .

$u_{12} = u_{5} + 7 r$ , donc $7 r = 59 - 31 = 28$ et $r = 4$ .

$u_{0} = u_{5} - 5 r = 31 - 20 = 11$ , d’où $u_{n} = 11 + 4 n$ .

$u_{30} = 11 + 4 \times 30 = 131$ .

Attention — si le premier terme donné est u(1), la formule est u(n) = u(1) + (n − 1)r.

Cas 4 · Sens de variation et représentation graphique

Réflexe — signe de r pour le sens de variation ; les points (n ; u(n)) sont sur la droite y = rx + u(0).

Exemple. Exemple : $u_{n} = 2, 5 n - 3$ . Sens de variation ? Sur quelle droite sont les points $(n; u_{n})$ ?

$u_{n + 1} - u_{n} = 2, 5$ : la suite est arithmétique de raison $2, 5 > 0$ , donc strictement croissante.

Les points sont sur la droite d’équation $y = 2, 5 x - 3$ : coefficient directeur $2, 5$ (la raison), ordonnée à l’origine $- 3$ (le terme $u_{0}$ ). Le point $(2; 2)$ en fait partie, car $u_{2} = 5 - 3 = 2$ .

Attention — on ne relie pas les points, et le premier terme n’a aucune influence sur le sens de variation.

Cas 5 · Problème de seuil

Réflexe — inéquation en n, encadrement du quotient par deux multiples consécutifs, plus petit entier qui convient, vérification sur deux rangs.

Exemple. Exemple : $v_{n} = 1 500 - 45 n$ . Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $v_{n} < 400$ .

$1 500 - 45 n < 400 ⟺ 45 n > 1 100 ⟺ n > \frac{1 100}{45}$ .

$45 \times 24 = 1 080$ et $45 \times 25 = 1 125$ : le plus petit entier est $n = 25$ .

Vérification : $v_{24} = 1 500 - 1 080 = 420 ⩾ 400$ et $v_{25} = 1 500 - 1 125 = 375 < 400$ .

Attention — en divisant par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité ; « n > 24,4 » donne 25, pas 24.

Les pièges

Confondre u(0) et u(1) : avec u(1), la forme explicite est u(n) = u(1) + (n − 1)r.
Prendre pour coefficient directeur la hausse d’une colonne à l’autre d’un tableau, sans diviser par le pas.
Conclure « arithmétique » à partir de deux ou trois écarts égaux, sans calcul avec n.
Croire qu’une suite arithmétique est toujours croissante : seul le signe de r compte.
Confondre ajouter (suite arithmétique) et multiplier (suite géométrique) : + 40 € par mois n’est pas + 4 % par mois.
Arrondir un seuil à l’entier le plus proche, ou oublier de vérifier le rang précédent.
Oublier de changer le sens de l’inégalité en divisant par un nombre négatif.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour toute question de suite arithmétique (traduire l’énoncé, reconnaître la suite, écrire la forme explicite, conclure), avec un exemple rédigé par cas : une fonction affine retrouvée à partir de deux images, une suite reconnue ou rejetée, deux termes connus, une droite qui porte les points, un seuil calculé à la main. Elle se termine par les sept pièges les plus fréquents.

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