Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Le second degré
Trinôme, parabole, discriminant et racines — 1re sans spé
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en première sur « Le second degré » suit le programme officiel de mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : La fonction trinôme du second degré, La parabole et son sommet, Le discriminant, Résoudre une équation du second degré. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en mathématiques.
1
La fonction trinôme du second degré
Tu connais déjà les fonctions affines (degré 1). On passe maintenant au second degré : il y a un terme en $x^2$.
Définition. Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels et $a \neq 0$.
Les nombres $a$, $b$, $c$ s'appellent les coefficients. Le nombre $a$ (devant $x^2$) est le plus important : on l'appelle le coefficient dominant.
Exemple. Dans $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$, on a $a=2$, $b=-3$ et $c=1$.
Dans $g(x) = -x^2 + 4$, on a $a=-1$, $b=0$ et $c=4$.
Dans $g(x) = -x^2 + 4$, on a $a=-1$, $b=0$ et $c=4$.
Attention ! Il faut $a \neq 0$. Si $a = 0$, il ne reste que $bx+c$ : c'est une fonction affine, pas un trinôme.
Résoudre une équation du second degré, c'est chercher les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = 0$. Ces valeurs s'appellent les racines du trinôme.
2
La parabole et son sommet
La courbe représentative d'un trinôme s'appelle une parabole.
À retenir. Pour la parabole d'équation $y = ax^2+bx+c$ :
- si $a \gt 0$, la parabole est tournée vers le haut (en forme de vallée $\smile$) : elle a un minimum ;
- si $a \lt 0$, la parabole est tournée vers le bas (en forme de colline $\frown$) : elle a un maximum.
Le point le plus bas (ou le plus haut) de la parabole s'appelle le sommet, noté $S$.
Coordonnées du sommet. L'abscisse du sommet est $$\alpha = -\frac{b}{2a}$$ et son ordonnée est $\beta = f(\alpha)$. Le sommet est donc le point $S(\alpha\,;\,\beta)$. La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale $x = \alpha$.
Exemple. Pour $f(x) = x^2 - 4x + 1$ : $\alpha = -\dfrac{-4}{2\times 1} = 2$ et $\beta = f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$. Sommet $S(2\,;\,-3)$. Comme $a = 1 \gt 0$, ce sommet est un minimum.
3
Le discriminant
Pour savoir combien de racines possède un trinôme, on calcule un nombre appelé le discriminant.
Définition. Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $$\Delta = b^2 - 4ac$$ (on lit « delta »).
Le signe de $\Delta$ indique le nombre de racines :
| Valeur de $\Delta$ | Nombre de racines |
|---|---|
| $\Delta \gt 0$ | deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ |
| $\Delta = 0$ | une racine double $x_0$ |
| $\Delta \lt 0$ | aucune racine réelle |
Exemple. Pour $x^2 - 5x + 6$ : $\Delta = (-5)^2 - 4\times 1\times 6 = 25 - 24 = 1 \gt 0$. Il y a donc deux racines.
Astuce. Calcule toujours $\Delta$ en premier : il te dit tout de suite si l'équation a des solutions, avant même de chercher leur valeur.
4
Résoudre une équation du second degré
Quand $\Delta \geq 0$, on obtient les racines avec des formules.
Formules des racines.
- Si $\Delta \gt 0$ : deux racines $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$
- Si $\Delta = 0$ : une seule racine (dite double) $$x_0 = \frac{-b}{2a}$$
- Si $\Delta \lt 0$ : aucune solution réelle.
Exemple ($\Delta \gt 0$). Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$.
$\Delta = 25 - 24 = 1$, donc $\sqrt{\Delta} = 1$.
$x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$. Solutions : $\{2\,;\,3\}$.
$\Delta = 25 - 24 = 1$, donc $\sqrt{\Delta} = 1$.
$x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$. Solutions : $\{2\,;\,3\}$.
Exemple ($\Delta = 0$). Résoudre $x^2 - 4x + 4 = 0$.
$\Delta = 16 - 16 = 0$ : racine double $x_0 = \dfrac{4}{2} = 2$. Solution : $\{2\}$.
$\Delta = 16 - 16 = 0$ : racine double $x_0 = \dfrac{4}{2} = 2$. Solution : $\{2\}$.
Exemple ($\Delta \lt 0$). Résoudre $x^2 + x + 1 = 0$.
$\Delta = 1 - 4 = -3 \lt 0$ : pas de solution réelle.
$\Delta = 1 - 4 = -3 \lt 0$ : pas de solution réelle.
Cas particuliers (sans discriminant). Parfois c'est plus rapide :
• $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ ou $x = -3$.
• $x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x-5) = 0 \Rightarrow x = 0$ ou $x = 5$.
• $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ ou $x = -3$.
• $x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x-5) = 0 \Rightarrow x = 0$ ou $x = 5$.
5
Le signe du trinôme
Une fois les racines connues, on peut dire si $f(x)$ est positif ou négatif selon $x$. On retient une phrase simple :
Règle du signe. Le trinôme $f(x) = ax^2+bx+c$ est :
Si $\Delta \lt 0$ : $f$ est du signe de $a$ pour tout $x$.
- du signe de $a$ à l'extérieur des racines ;
- du signe contraire de $a$ entre les racines.
Si $\Delta \lt 0$ : $f$ est du signe de $a$ pour tout $x$.
Exemple. Étudier le signe de $f(x) = x^2 - x - 6$.
$\Delta = 1 + 24 = 25$, racines $x_1 = \dfrac{1-5}{2} = -2$ et $x_2 = \dfrac{1+5}{2} = 3$.
Ici $a = 1 \gt 0$ : $f$ est positif à l'extérieur, négatif entre $-2$ et $3$.
$\Delta = 1 + 24 = 25$, racines $x_1 = \dfrac{1-5}{2} = -2$ et $x_2 = \dfrac{1+5}{2} = 3$.
Ici $a = 1 \gt 0$ : $f$ est positif à l'extérieur, négatif entre $-2$ et $3$.
| $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $3$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|
| signe de $f(x)$ | $+$ | $0\ -$ | $0\ +$ |
Attention ! Le signe « entre les racines » dépend de $a$. Si $a \lt 0$, c'est l'inverse : $f$ est positif entre les racines.
6
Méthodes et exemples résolus
Voici les deux méthodes à maîtriser, étape par étape.
Méthode 1 — résoudre $ax^2+bx+c = 0$.
- Repérer $a$, $b$, $c$.
- Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Conclure selon le signe de $\Delta$ et appliquer les formules si besoin.
Méthode 2 — résoudre une inéquation, par exemple $ax^2+bx+c \gt 0$.
- Résoudre d'abord $ax^2+bx+c = 0$ (trouver les racines).
- Faire le tableau de signes avec la règle du signe.
- Lire l'intervalle qui convient.
Exemple résolu. Résoudre $-x^2 + 2x + 3 \geq 0$.
Racines de $-x^2 + 2x + 3 = 0$ : $\Delta = 4 + 12 = 16$, $x_1 = \dfrac{-2-4}{-2} = 3$ et $x_2 = \dfrac{-2+4}{-2} = -1$.
Ici $a = -1 \lt 0$ : $f$ est positif entre les racines. Comme on veut $f(x) \geq 0$, la solution est $[-1\,;\,3]$.
Racines de $-x^2 + 2x + 3 = 0$ : $\Delta = 4 + 12 = 16$, $x_1 = \dfrac{-2-4}{-2} = 3$ et $x_2 = \dfrac{-2+4}{-2} = -1$.
Ici $a = -1 \lt 0$ : $f$ est positif entre les racines. Comme on veut $f(x) \geq 0$, la solution est $[-1\,;\,3]$.
Vérification rapide. Quand le trinôme a deux racines $x_1$ et $x_2$, on a $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$. C'est un bon moyen de contrôler tes calculs.
En bref — Le second degré
- Trinôme : $f(x) = ax^2+bx+c$ avec $a \neq 0$ ; sa courbe est une parabole.
- Sommet : $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. Si $a\gt 0$ : minimum ; si $a\lt 0$ : maximum.
- Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$.
- $\Delta\gt 0$ : deux racines $x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; $\Delta=0$ : racine double $x_0 = -\frac{b}{2a}$ ; $\Delta\lt 0$ : aucune racine.
- Signe : du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe contraire entre les racines.
Bloqué sur ce chapitre ?
Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs