Fonctions du second degré : paraboles et forme factorisée

La fonction carré. Elle est définie sur $ℝ$ par $f(x)=x^2$. Sa courbe est une parabole de sommet l’origine $O$, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées car $(-x{)}^2=x^2$ : deux nombres opposés ont le même carré. Pour tout réel $x$, $x^2⩾0$. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty ;0]$ et croissante sur $[0;+\infty [$ ; son minimum, $0$, est atteint en $x=0$.

Équation $x^2=k$. Si $k>0$, elle a deux solutions, $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$ ; si $k=0$, une seule, $0$ ; si $k<0$, aucune, car un carré n’est jamais négatif. Graphiquement, ce sont les abscisses des points communs à la parabole $y=x^2$ et à la droite horizontale $y=k$.

Équation produit nul. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : $A\times B=0⟺A=0$ ou $B=0$.

Développer, factoriser. $(a+b)(c+d)$ $=ac+ad+bc+bd$, et les identités remarquables $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Factoriser, c’est le chemin inverse : mettre un facteur commun en évidence ($k{x}^2+mx=x(kx+m)$) ou reconnaître une différence de deux carrés.

Fonction polynôme du second degré. C’est une fonction définie sur $ℝ$ par $f(x)=a{x}^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\ne 0$ (sinon, ce serait une fonction affine). Cette écriture est la forme développée ; $a$, $b$, $c$ sont les coefficients. Sa courbe est une parabole : elle a un axe de symétrie vertical et un point remarquable situé sur cet axe, le sommet.

La parabole de $x\mapsto a{x}^2$. Son sommet est l’origine $O$ et son axe de symétrie est l’axe des ordonnées. Si $a>0$, elle est tournée vers le haut : la fonction est décroissante puis croissante, son minimum vaut $0$. Si $a<0$, elle est tournée vers le bas : croissante puis décroissante, son maximum vaut $0$. Plus $a$ est éloigné de $0$, plus la parabole est resserrée. Comme $f(1)=a$, elle passe par le point $(1;a)$.

La parabole de $x\mapsto a{x}^2+c$. Elle se déduit de celle de $x\mapsto a{x}^2$ par une translation verticale de $c$ unités (vers le haut si $c>0$, vers le bas si $c<0$). Son sommet est le point $(0;c)$, son axe l’axe des ordonnées, et $c$ est le minimum de la fonction si $a>0$, son maximum si $a<0$. Ses racines vérifient $a{x}^2=-c$ : il y en a deux si $a$ et $c$ sont de signes contraires, aucune s’ils sont de même signe.

Associer une parabole à une expression. Le sens de la parabole donne le signe de $a$ ; son point sur l’axe des ordonnées donne $c=f(0)$ ; un autre point lu sur la figure donne $a$.

Racines. Si $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\ne 0$, les racines de $f$, c’est-à-dire les solutions de $f(x)=0$, sont $x_1$ et $x_2$ (produit nul). Ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l’axe des abscisses. Elle coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $f(0)$.

Axe de symétrie. Les points $(x_1;0)$ et $(x_2;0)$ ont la même ordonnée : ils sont symétriques par rapport à l’axe de la parabole. L’axe est donc la droite verticale qui passe par leur milieu, d’équation $x={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}$.

Sommet et variations. Le sommet $S$ a pour abscisse ce milieu, noté $m$, et pour ordonnée son image $f(m)$. Si $a>0$, $f$ est décroissante sur $]-\infty ;m]$ puis croissante sur $[m;+\infty [$ : $f(m)$ est son minimum. Si $a<0$, $f$ est croissante puis décroissante : $f(m)$ est son maximum.

Racine double. Si $f(x)=a(x-x_1{)}^2$, $f$ n’a qu’une racine, $x_1$ : le sommet est le point $(x_1;0)$, la parabole touche l’axe des abscisses sans le traverser.

Une fonction, plusieurs écritures. Une même fonction du second degré peut s’écrire sous forme développée $a{x}^2+bx+c$ et, si elle a des racines, sous forme factorisée. Pour démontrer que deux écritures sont égales, on développe la forme factorisée et on compare avec la forme développée. Le coefficient $a$ est le même dans les deux écritures.

Ce que donne la forme développée. $f(0)=c$ : la parabole coupe l’axe des ordonnées au point $(0;c)$.

Trouver l’axe sans formule. On résout $f(x)=c$ : $a{x}^2+bx+c$ $=c$ $⟺a{x}^2+bx$ $=0$ $⟺x(ax+b)$ $=0$. Les deux solutions, $0$ et $-{\displaystyle \frac{b}{a}}$, ont la même image $c$ : elles sont symétriques par rapport à l’axe, qui passe par leur milieu. Plus généralement, deux abscisses qui ont la même image sont symétriques par rapport à l’axe de la parabole.

Une racine connue. Si l’on connaît une racine et l’axe, la seconde racine est à la même distance de l’axe, de l’autre côté. Sans forme factorisée et sans racine évidente, on ne cherche pas les racines : il faudrait la formule du discriminant, qui n’est pas au programme.

Nombre de racines. Une fonction du second degré a deux racines, une seule (racine double) ou aucune. Sur le graphique, la parabole coupe l’axe des abscisses en deux points, le touche en son sommet, ou reste entièrement d’un côté. Sans racine, il n’y a pas de forme factorisée : par exemple $x^2+4⩾4$ pour tout réel $x$.

Signe de $a(x-x_1)(x-x_2)$, avec $x_1<x_2$ : l’expression est du signe de $a$ à l’extérieur des racines, du signe contraire entre les racines, et nulle en $x_1$ et en $x_2$. En effet, entre $x_1$ et $x_2$, un seul des deux facteurs $x-x_1$ et $x-x_2$ est négatif. Sur le graphique : si $a>0$, la parabole tournée vers le haut n’est au-dessous de l’axe des abscisses qu’entre ses racines.

Racine double. $a(x-x_1{)}^2$ est du signe de $a$, et nul seulement en $x_1$.

Inéquations. Pour résoudre $f(x)>0$, $f(x)⩾0$, $f(x)<0$ ou $f(x)⩽0$, on lit le tableau de signes : les racines sont exclues si l’inégalité est stricte, incluses si elle est large. Pour $f(x)⩾k$, on étudie le signe de $f(x)-k$, dont la forme factorisée est donnée ou se vérifie en développant.

Modèle quadratique. Une grandeur qui augmente puis diminue (ou l’inverse) se modélise souvent par une fonction du second degré : hauteur d’un objet lancé, aire d’un rectangle de périmètre fixé, recette ou bénéfice en fonction d’un prix ou d’une quantité. La valeur maximale ou minimale est l’ordonnée du sommet.

Démarche. 1. Choisir la variable et préciser l’intervalle où elle a un sens (une longueur est positive, une production est limitée). 2. Exprimer la grandeur en fonction de cette variable. 3. Choisir la forme adaptée à la question :

• valeur de départ : forme développée, $f(0)=c$ ;
• quand la grandeur s’annule : forme factorisée et produit nul ;
• valeur maximale ou minimale : axe (milieu des racines, ou des solutions de $f(x)=c$), puis image de ce milieu ;
• quand la grandeur dépasse un seuil $k$ : forme factorisée de $f(x)-k$ et tableau de signes.

4. Conclure par une phrase avec l’unité.

Domaine de validité. Le sommet ne répond à la question que si son abscisse est dans l’intervalle d’étude. Sinon, la fonction est monotone sur cet intervalle et l’extremum est atteint à une borne.