Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Fiche de révision : fonctions du second degré

Fonction carré, équations x² = k et produit nul (rappels de seconde), paraboles de x ↦ ax², x ↦ ax² + c et x ↦ a(x − x₁)(x − x₂), axe de symétrie, sommet, variations, racines et signe avec la forme factorisée, et modélisation d’un maximum ou d’un minimum, sans calculatrice et sans discriminant.

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Fonctions du second degré : paraboles et forme factorisée

Fiche méthode

(Maths 1re (tronc commun) · Phénomènes d’évolution · Modélisation quadratique)

La démarche pour une question sur une fonction du second degré

1. Je repère la forme donnée : $a x^{2}$ ou $a x^{2} + c$ , forme factorisée $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , ou forme développée $a x^{2} + b x + c$ .

2. Je lis ce que la forme donne directement : le signe de $a$ (sens de la parabole), $c = f (0)$ , ou les racines.

3. Je trouve l’axe sans formule : milieu des racines, ou milieu des solutions de $f (x) = c$ ; le sommet est l’image de ce milieu.

4. Je conclus : extremum et variations par le signe de $a$ , signe et inéquations par le tableau de signes, et une phrase avec l’unité dans un problème.

Le réflexe — le signe de a décide de tout : sens de la parabole, maximum ou minimum, signe à l’extérieur des racines.

Cas 1 · Rappels de seconde : x² = k, produit nul, développer

Réflexe — sans terme en x, j’isole x² ; sans terme constant, je factorise par x ; déjà factorisé, produit nul.

Exemple. Exemple : résoudre $7 x^{2} = 28$ , puis développer $(x + 6) (2 x - 1)$ .

$x^{2} = \frac{28}{7} = 4$ , donc $x = - 2$ ou $x = 2$ (deux solutions).

$(x + 6) (2 x - 1)$ $= 2 x^{2} - x + 12 x - 6$ $= 2 x^{2} + 11 x - 6$ .

Attention — x² = k avec k > 0 a deux solutions opposées ; ne jamais diviser par x.

Cas 2 · Associer une parabole à une expression ax² + c

Réflexe — sens de la parabole → signe de a ; point sur l’axe des ordonnées → c ; un autre point → a.

Exemple. Exemple : une parabole tournée vers le haut a pour sommet $(0; - 2)$ et passe par $(2; 6)$ . Déterminer $f (x) = a x^{2} + c$ et ses racines.

Le sommet est sur l’axe des ordonnées : $c = f (0) = - 2$ .

$f (2) = 4 a - 2 = 6$ , donc $4 a = 8$ et $a = 2$ : $f (x) = 2 x^{2} - 2$ (et $a > 0$ : tournée vers le haut).

$2 x^{2} - 2 = 0 ⟺ x^{2} = 1$ : les racines sont $- 1$ et $1$ .

Attention — c déplace la parabole verticalement ; −x² n’est pas (−x)².

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Cas 3 · Forme factorisée : racines, axe, sommet

Réflexe — racines lues en changeant le signe, axe au milieu, sommet = image du milieu.

Exemple. Exemple : $f (x) = 2 (x - 1) (x - 11)$ . Racines, axe, sommet et variations.

Racines : $1$ et $11$ . Axe : $x = \frac{1 + 11}{2} = 6$ .

$f (6)$ $= 2 \times 5 \times (- 5)$ $= - 50$ : sommet $S (6; - 50)$ .

$a = 2 > 0$ : $f$ est décroissante sur $] - \infty; 6]$ , croissante sur $[6; + \infty [$ , de minimum $- 50$ .

Attention — (x + 3) s’annule en −3 ; l’ordonnée du sommet se calcule, ce n’est pas a.

Cas 4 · Forme développée : l’axe en résolvant f(x) = c

Réflexe — f(x) = c, je factorise par x : les deux solutions ont la même image, l’axe passe par leur milieu.

Exemple. Exemple : $f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 7$ . Axe de symétrie et extremum.

$f (x)$ $= 7$ $⟺ 3 x^{2} - 12 x$ $= 0$ $⟺ 3 x (x - 4)$ $= 0$ , soit $x = 0$ ou $x = 4$ .

L’axe est la droite $x = 2$ , et $f (2) = 12 - 24 + 7 = - 5$ .

$a = 3 > 0$ : minimum $- 5$ , atteint en $x = 2$ .

Attention — les solutions de f(x) = c ne sont pas les racines ; l’axe est à leur milieu.

Cas 5 · Signe et inéquation avec la forme factorisée

Réflexe — signe de a à l’extérieur des racines, signe contraire entre elles ; contrôle avec x = 0.

Exemple. Exemple : résoudre $- (x + 2) (x - 3) > 0$ .

Racines $- 2$ et $3$ ; $a = - 1 < 0$ : l’expression est négative à l’extérieur des racines, positive entre elles.

Inégalité stricte : $S =] - 2; 3 [$ . Contrôle : pour $x = 0$ , $- (2) \times (- 3) = 6 > 0$ .

Attention — inégalité stricte : crochets ouverts ; pour f(x) ⩾ k, signe de f(x) − k.

Cas 6 · Modéliser et optimiser

Réflexe — intervalle de la variable, forme adaptée, sommet dans le domaine, phrase avec l’unité.

Exemple. Exemple : la hauteur d’un jet d’eau est $h (x) = - 0, 4 x (x - 5)$ mètres à $x$ mètres de la buse, pour $0 ⩽ x ⩽ 5$ . Hauteur maximale ?

Racines $0$ et $5$ : le jet retombe à $5$ m de la buse. Axe : $x = 2, 5$ , dans $[0; 5]$ .

$h (2, 5)$ $= - 0, 4 \times 2, 5 \times (- 2, 5)$ $= 2, 5$ et $a = - 0, 4 < 0$ : c’est un maximum.

Le jet monte au plus à $2, 5$ m, à $2, 5$ m de la buse.

Attention — le maximum est l’ordonnée du sommet ; si le sommet sort du domaine, l’extremum est à une borne.

Les pièges

Oublier la solution négative de x² = k, ou la solution 0 en divisant par x.
Lire la racine de (x + 3) comme 3 au lieu de −3.
Confondre l’abscisse du sommet (milieu des racines) et son ordonnée (image de ce milieu).
Prendre les solutions de f(x) = c pour des racines.
Oublier que si a < 0, l’expression est positive entre ses racines.
Mettre des crochets fermés pour une inégalité stricte, ou étudier le signe de f(x) au lieu de f(x) − k.
Répondre par l’abscisse du sommet quand on demande le maximum, ou garder un sommet hors du domaine.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour toute question sur une parabole (repérer la forme, lire ce qu’elle donne, trouver l’axe sans formule, conclure), avec un exemple rédigé par cas : une équation x² = k, une parabole retrouvée à partir de son sommet, une forme factorisée étudiée, un axe obtenu en résolvant f(x) = c, une inéquation et la hauteur maximale d’un jet d’eau. Elle se termine par les sept pièges les plus fréquents.

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