Fonctions du second degré : paraboles et forme factorisée

1. a)$144={12}^2$ et $144>0$ : deux solutions, $x=-12$ ou $x=12$. (0,5)
2. b)$(x+2)(x-7)$ $=x^2-7x+2x-14$ $=x^2-5x-14$. (0,5)
3. c)Produit nul : $x-3=0$ ou $x+8=0$, soit $x=3$ ou $x=-8$. (0,5)
4. d)Forme $a{x}^2+c$ : sommet $(0;-1)$ ; $a=4>0$, c’est un minimum, $-1$. (0,5)
5. e)Milieu des racines $4$ et $12$ : l’axe a pour équation $x=8$. (0,5)
6. f)$a=3>0$ : $k(x)$ est négatif entre ses racines $-1$ et $6$. (0,5)
7. g)$3x(x-7)=0$ : $x=0$ ou $x=7$. (0,5)
8. h)$p(x)=-x^2+2$ : $a=-1<0$, parabole tournée vers le bas, de sommet $(0;2)$. (0,5)

Repère — Racines lues dans les parenthèses en changeant le signe, axe au milieu des racines, sens de la parabole donné par le signe de a : trois réflexes qui reviennent dans chaque automatisme.

1. a)Produit nul : $x+1=0$ ou $x-5=0$, donc les racines sont $-1$ et $5$. $f(0)$ $=2\times 1\times (-5)$ $=-10$ : la parabole coupe l’axe des ordonnées au point $(0;-10)$. (1)
2. b)Les points $(-1;0)$ et $(5;0)$ sont symétriques par rapport à l’axe, qui passe par leur milieu : $x={\displaystyle \frac{-1+5}{2}}=2$. Puis $f(2)$ $=2\times 3\times (-3)$ $=-18$ : le sommet est $S(2;-18)$. (1)
3. c)$a=2>0$ : la parabole est tournée vers le haut. $f$ est décroissante sur $]-\infty ;2]$, croissante sur $[2;+\infty [$, et son minimum vaut $-18$, atteint en $x=2$. (1)
4. d)$f(x)$ $=2(x^2-5x+x-5)$ $=2(x^2-4x-5)$ $=2x^2-8x-10$. Le terme constant, $-10$, est bien $f(0)$. (1)

Repère — Le milieu des racines donne l’abscisse du sommet ; son image donne le minimum ou le maximum.

1. a)$g(x)$ $=24$ $⟺-x^2+2x$ $=0$ $⟺-x(x-2)$ $=0$ : $x=0$ ou $x=2$. Ces deux abscisses ont la même image, donc l’axe passe par leur milieu : c’est la droite d’équation $x=1$. (1)
2. b)$g(1)=-1+2+24=25$. Comme $a=-1<0$, la parabole est tournée vers le bas : le maximum de $g$ vaut $25$, atteint en $x=1$. (1)
3. c)$-(x+4)(x-6)$ $=-(x^2-6x+4x-24)$ $=-(x^2-2x-24)$ $=-x^2+2x+24$ $=g(x)$ pour tout réel $x$. (1)
4. d)Racines $-4$ et $6$, $a=-1<0$ : $g(x)$ est négatif sur $]-\infty ;-4[$, positif sur $]-4;6[$, négatif sur $]6;+\infty [$, et nul en $-4$ et $6$. Donc $S=]-4;6[$, racines exclues car l’inégalité est stricte. (1)

Repère — Résoudre f(x) = c donne l’axe sans formule ; la forme factorisée donne le signe.

1. a)$c=f(0)=12$, ordonnée du sommet. Puis $f(2)=4a+12=9$, donc $4a=-3$ et $a=-0,75$ : $f(x)=-0,75x^2+12$. (1)
2. b)$a=-0,75<0$ : tournée vers le bas. $f$ est croissante sur $]-\infty ;0]$, décroissante sur $[0;+\infty [$, de maximum $12$ atteint en $x=0$. (1)
3. c)$-0,75x^2+12$ $=0$ $⟺0,75x^2$ $=12$ $⟺x^2$ $=16$ : les racines sont $-4$ et $4$. (1)
4. d)L’axe de symétrie est l’axe des ordonnées : $-3$ et $3$ sont symétriques, donc $f(-3)=f(3)$. Et $f(3)$ $=-0,75\times 9+12$ $=-6,75+12$ $=5,25$. (1)

Repère — Une parabole de la forme ax² + c est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : deux nombres opposés ont la même image.

1. a)Le premier carré a pour périmètre $x$, donc pour côté ${\displaystyle \frac{x}{4}}$ et pour aire ${\displaystyle \frac{x^2}{16}}$ ; le second a pour côté ${\displaystyle \frac{40-x}{4}}$ et pour aire ${\displaystyle \frac{(40-x{)}^2}{16}}$. Donc $A(x)$ $={\displaystyle \frac{x^2+1600-80x+x^2}{16}}$ $={\displaystyle \frac{2x^2-80x+1600}{16}}$, soit $A(x)$ $={\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2-5x+100$. (1)
2. b)$A(x)$ $=100$ $⟺{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2-5x$ $=0$ $⟺x({\displaystyle \frac{1}{8}}x-5)$ $=0$ : $x=0$ ou $x=40$. L’axe passe par le milieu, $x=20$, et $A(20)=50-100+100=50$. Comme $a={\displaystyle \frac{1}{8}}>0$, c’est un minimum : il faut couper le fil en son milieu, et la somme minimale des aires est $50$ cm² (deux carrés de $5$ cm de côté). (1)
3. c)$(x-16)(x-24)$ $=x^2-24x-16x+384$ $=x^2-40x+384$, donc ${\displaystyle \frac{1}{8}}(x-16)(x-24)$ $={\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2-5x+48$ $=A(x)-52$. (1)
4. d)$A(x)⩽52$ $⟺{\displaystyle \frac{1}{8}}(x-16)(x-24)⩽0$. Avec $a={\displaystyle \frac{1}{8}}>0$, l’expression est négative ou nulle entre les racines, incluses : $16⩽x⩽24$, valeurs bien comprises dans $[0;40]$. (1)

Repère — Quand a > 0, la parabole est tournée vers le haut : le sommet donne un minimum, pas un maximum.