Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Le second degré
Trinôme, parabole, discriminant et racines — 1re sans spé
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Étude d'un trinôme
/ 5 pts- Soit $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$. Calculer le discriminant $\Delta$.
- En déduire les racines $x_1$ et $x_2$ (avec $x_1 \lt x_2$).
- Dresser le tableau de signes de $f$ sur $\mathbb{R}$.
- En déduire les solutions de l'inéquation $2x^2 - 4x - 6 \leq 0$.
Exercice 2 — Parabole et sommet
/ 4 pts- Soit $g(x) = -3x^2 + 6x + 1$. Déterminer les coordonnées du sommet $S(\alpha\,;\,\beta)$.
- La parabole admet-elle un minimum ou un maximum ? Justifier.
- Donner la valeur de cet extremum et la valeur de $x$ où il est atteint.
Exercice 3 — Résoudre des équations
/ 5 pts- Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2 - 3x - 10 = 0$.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2 - 4x + 4 = 0$.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2 + x + 3 = 0$ (justifier).
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2 - 25 = 0$.
Exercice 4 — Problème d'optimisation
/ 4 pts- Un fermier dispose de 80 m de grillage pour un enclos rectangulaire adossé à un mur (un côté sans grillage). La largeur est notée $x$.
- Exprimer la longueur en fonction de $x$, puis montrer que l'aire est $A(x) = -2x^2 + 80x$.
- Déterminer la valeur de $x$ qui maximise l'aire, puis calculer l'aire maximale.
Exercice 5 — Lecture graphique
/ 2 pts- Une parabole a pour sommet $S(-1\,;\,-4)$ et coupe l'axe des abscisses en $x = -3$ et $x = 1$. Cette parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Justifier.
- Donner, à partir de ces informations, l'axe de symétrie de la parabole.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Étude d'un trinôme
Corrigé :
1. $\Delta = 16 + 48 = 64$.
2. $\sqrt{\Delta} = 8$, $x_1 = \frac{4-8}{4} = -1$, $x_2 = \frac{4+8}{4} = 3$.
3. $a = 2 \gt 0$ : $f$ positif à l'extérieur, négatif entre $-1$ et $3$.
4. On veut $f(x) \leq 0$ : solution $[-1\,;\,3]$.
Exercice 2 — Parabole et sommet
Corrigé :
1. $\alpha = -\frac{6}{2\times(-3)} = 1$ ; $\beta = g(1) = -3 + 6 + 1 = 4$. Sommet $S(1\,;\,4)$.
2. $a = -3 \lt 0$ : parabole vers le bas, donc un maximum.
3. Maximum égal à $4$, atteint en $x = 1$.
Exercice 3 — Résoudre des équations
Corrigé :
1. $\Delta = 9 + 40 = 49$, $x_1 = \frac{3-7}{2} = -2$, $x_2 = \frac{3+7}{2} = 5$. Solutions $\{-2\,;\,5\}$.
2. $\Delta = 16 - 16 = 0$, racine double $x_0 = 2$.
3. $\Delta = 1 - 12 = -11 \lt 0$ : aucune solution réelle.
4. $x^2 = 25 \Rightarrow x = 5$ ou $x = -5$. Solutions $\{-5\,;\,5\}$.
Exercice 4 — Problème d'optimisation
Corrigé :
1–2. Deux largeurs $x$ + une longueur $= 80$, donc longueur $= 80 - 2x$. Aire : $A(x) = x(80 - 2x) = -2x^2 + 80x$.
3. $\alpha = -\frac{80}{2\times(-2)} = 20$ m. Aire maximale : $A(20) = -800 + 1600 = 800$ m².
Exercice 5 — Lecture graphique
Corrigé :
1. Le sommet est le point le plus bas ($\beta = -4$), donc la parabole est tournée vers le haut ($a \gt 0$).
2. L'axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet : $x = -1$ (c'est aussi le milieu de $-3$ et $1$).
Ce contrôle de mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Le second degré » : 5 exercices, 45 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Étude d'un trinôme/ 5 pts
- Exercice 2 — Parabole et sommet/ 4 pts
- Exercice 3 — Résoudre des équations/ 5 pts
- Exercice 4 — Problème d'optimisation/ 4 pts
- Exercice 5 — Lecture graphique/ 2 pts
Notions évaluées
La fonction trinôme du second degré, La parabole et son sommet, Le discriminant, Résoudre une équation du second degré, Le signe du trinôme, Méthodes et exemples résolus.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 45 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Le second degré » ?
- 45 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 45 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Le second degré » du programme officiel de mathématiques en première, soit La fonction trinôme du second degré, La parabole et son sommet, Le discriminant, Résoudre une équation du second degré.
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