Fonctions du second degré : paraboles et forme factorisée

Fonction carré et équations $x^2=k$. Quand il y a deux solutions, écris la plus petite, puis la plus grande.

1. Image de $-0,7$ par la fonction carré :
   $(-0,7{)}^2$ $=0,7\times 0,7$ $=0,49$ : un carré n’est jamais négatif.
2. $x^2=81$ : et
   $81>0$ : deux solutions opposées, $x=-9$ ou $x=9$, car $9^2=81$ et $(-9{)}^2=81$.
3. $x^2=0,36$ : et
   $0,6^2=0,36$ : $x=-0,6$ ou $x=0,6$.
4. Nombre de solutions de $x^2=0$ :
   Seul $0$ a pour carré $0$ : une seule solution. Avec un nombre strictement négatif à droite, il n’y en aurait aucune.

Développe et réduis, puis donne les coefficients demandés.

1. $(x+5{)}^2-3=x^2+bx+c$ avec $b=$ et $c=$
   $(x+5{)}^2=x^2+10x+25$, donc $(x+5{)}^2-3=x^2+10x+22$.
2. $(2x+5)(x-3)$ $=a{x}^2+bx+c$ avec $a=$ , $b=$ et $c=$
   $(2x+5)(x-3)$ $=2x^2-6x+5x-15$ $=2x^2-x-15$. Comme $a=2\ne 0$, c’est bien une fonction du second degré.
3. $-2(x-4{)}^2=a{x}^2+bx+c$ avec $b=$
   $(x-4{)}^2=x^2-8x+16$, donc $-2(x-4{)}^2=-2x^2+16x-32$.

Résous dans $ℝ$ ; écris les solutions de la plus petite à la plus grande.

1. $4x^2-25=0$ : et
   $4x^2=25$, donc $x^2={\displaystyle \frac{25}{4}}=6,25$ : $x=-2,5$ ou $x=2,5$.
2. Résoudre $7x^2+21x=0$ en justifiant : et
   Rédaction attendue. On factorise par $7x$ : $7x^2+21x=7x(x+3)$. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : $7x=0$ ou $x+3=0$, soit $x=0$ ou $x=-3$. Les solutions sont $-3$ et $0$. Diviser par $x$ aurait fait perdre la solution $0$.
3. $(2x-3)(x+7)=0$ : et
   Produit nul : $2x-3=0$ donne $x=1,5$, et $x+7=0$ donne $x=-7$.
4. Nombre de solutions de $x^2+16=0$ :
   L’équation s’écrit $x^2=-16$ : un carré n’est jamais négatif, il n’y a aucune solution. La parabole $y=x^2+16$ ne coupe pas l’axe des abscisses.

Factoriser pour résoudre.

1. $9x^2-30x+25=(3x-k{)}^2$ avec $k=$
   Identité $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=3x$ et $b=5$ : $(3x-5{)}^2=9x^2-30x+25$, le double produit étant $2\times 3x\times 5=30x$.
2. Nombre de solutions de $9x^2-30x+25=0$ :
   $(3x-5{)}^2=0⟺3x-5=0$ : une seule solution, $x={\displaystyle \frac{5}{3}}$.
3. Résoudre $(x-3{)}^2=16$ en justifiant : et
   Rédaction attendue. $16>0$ : un nombre dont le carré vaut $16$ est $4$ ou $-4$. Donc $x-3=4$ ou $x-3=-4$, soit $x=7$ ou $x=-1$. Contrôle : $(7-3{)}^2=16$ et $(-1-3{)}^2=16$. On pouvait aussi factoriser $(x-3{)}^2-16$ $=(x-7)(x+1)$, différence de deux carrés.
4. Un élève écrit : « $2x^2=6x$, donc $x=3$. » Solution qu’il a oubliée :
   $2x^2-6x$ $=0$ $⟺2x(x-3)$ $=0$ : $x=0$ ou $x=3$. En divisant par $2x$, l’élève a supposé $x\ne 0$ et perdu la solution $0$.

Coefficients et allure de la parabole.

1. $f(x)=4x^2-7x+2$ : $a=$ , $b=$ et $c=$
   L’expression est déjà développée et ordonnée : $a=4$, $b=-7$ et $c=2$ ; $a\ne 0$, c’est bien une fonction du second degré.
2. $g(x)=5-x^2$ : $a=$ et $c=$
   $g(x)=-x^2+5$ : $a=-1$, $b=0$ et $c=5$. L’ordre d’écriture ne change rien.
3. La parabole de $h(x)=-0,3x^2+2$ est tournée vers le (écris haut ou bas)
   $a=-0,3<0$ : la parabole est tournée vers le bas, et $h$ admet un maximum.
4. Degré de $k(x)=3x^3-x^2$ :
   Le terme $3x^3$ est de degré $3$ : $k$ n’est pas une fonction du second degré, sa courbe n’est pas une parabole.

Sommet et extremum des fonctions $x\mapsto a{x}^2+c$.

1. $f(x)=2x^2-7$ admet un (écris minimum ou maximum) égal à
   $a=2>0$ : parabole tournée vers le haut, de sommet $(0;-7)$ ; $f$ admet un minimum, $-7$, atteint en $x=0$.
2. $g(x)=6-0,25x^2$ admet un (écris minimum ou maximum) égal à
   $g(x)=-0,25x^2+6$ : $a<0$, parabole tournée vers le bas, de sommet $(0;6)$ : maximum $6$.
3. La courbe de $x\mapsto x^2+7$ se déduit de celle de $x\mapsto x^2$ par une translation de $7$ unités vers le (écris haut, bas, gauche ou droite)
   On ajoute $7$ à toutes les images : la courbe monte de $7$ unités, le sommet passe de $(0;0)$ à $(0;7)$.
4. Racines de $p(x)=3x^2-27$ : et
   $3x^2=27⟺x^2=9$ : $x=-3$ ou $x=3$ ($a$ et $c$ sont de signes contraires, il y a bien deux racines).

La parabole $𝒫$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=a{x}^2+c$.

1. Le coefficient $a$ est (écris positif ou négatif)
   La parabole est tournée vers le bas : $a<0$.
2. $c=$
   La parabole coupe l’axe des ordonnées au point $(0;5)$, et $f(0)=c$.
3. Justifier, à l’aide du point $A(1;3)$, que $a=-2$. Contrôle : $f(2)=$
   Rédaction attendue. Le point $A(1;3)$ est sur $𝒫$, donc $f(1)=3$ : $a\times 1^2+5=3$, d’où $a=3-5=-2$, et $f(x)=-2x^2+5$. Contrôle : $f(2)=-2\times 4+5=-3$, ce qu’on lit sur la figure.
4. Nombre de racines de $f$ :
   $a$ et $c$ sont de signes contraires : la parabole coupe deux fois l’axe des abscisses (les racines vérifient $x^2=2,5$).

Les quatre paraboles ci-dessous représentent les fonctions $f_1(x)=x^2+1$, $f_2(x)=-x^2+4$, $f_3(x)=0,5x^2-3$ et $f_4(x)=-2x^2+1$, dans le désordre.

1. La parabole de $f_1$ est $𝒫$ n°
   $f_1$ : $a=1>0$ (tournée vers le haut) et $f_1(0)=1$. Deux paraboles sont tournées vers le haut : ${𝒫}_1$ coupe l’axe des ordonnées en $-3$, ${𝒫}_2$ en $1$. C’est donc ${𝒫}_2$.
2. La parabole de $f_3$ est $𝒫$ n°
   $f_3$ : $a=0,5>0$ et $f_3(0)=-3$ : parabole tournée vers le haut, de sommet $(0;-3)$, la plus ouverte des quatre.
3. La parabole de $f_4$ est $𝒫$ n°
   $f_4$ : $a=-2<0$ et $f_4(0)=1$ : tournée vers le bas, de sommet $(0;1)$. ${𝒫}_4$, aussi tournée vers le bas, a pour sommet $(0;4)$ : c’est celle de $f_2$.
4. Racines de $f_2$ : et
   $-x^2+4=0⟺x^2=4$ : $x=-2$ ou $x=2$, les points où ${𝒫}_4$ coupe l’axe des abscisses.
5. Justifier que $f_1(x)>0$ pour tout réel $x$. Contrôle : minimum de $f_1$ :
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $x^2⩾0$, donc $x^2+1⩾1>0$. Le minimum de $f_1$ vaut $1$, atteint en $x=0$ : la parabole ${𝒫}_2$ reste au-dessus de l’axe des abscisses, $f_1$ n’a aucune racine.

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=3(x-4)(x+2)$. Écris les racines de la plus petite à la plus grande.

1. Racines de $f$ : et
   Produit nul : $x-4=0$ ou $x+2=0$, soit $x=4$ ou $x=-2$.
2. Axe de symétrie de la parabole : $x=$
   Milieu des racines : ${\displaystyle \frac{-2+4}{2}}=1$.
3. $f(0)=$
   $f(0)$ $=3\times (0-4)\times (0+2)$ $=3\times (-4)\times 2$ $=-24$.
4. Ordonnée du sommet :
   $f(1)$ $=3\times (1-4)\times (1+2)$ $=3\times (-3)\times 3$ $=-27$ ; $a=3>0$ : c’est le minimum de $f$.

Sommet et extremum à partir de la forme factorisée.

1. $g(x)=-(x-1)(x-9)$ : abscisse du sommet
   Racines $1$ et $9$ ; leur milieu est ${\displaystyle \frac{1+9}{2}}=5$.
2. Maximum de $g$ :
   $g(5)$ $=-(5-1)(5-9)$ $=-4\times (-4)$ $=16$ ; $a=-1<0$ : c’est un maximum.
3. $k(x)=0,5x(x+6)$ : sommet d’abscisse et d’ordonnée
   Racines $0$ et $-6$, milieu $-3$ ; $k(-3)$ $=0,5\times (-3)\times 3$ $=-4,5$.
4. $m(x)=2(x+5{)}^2$ : nombre de racines
   $2(x+5{)}^2=0⟺x=-5$ : une racine double ; le sommet est $(-5;0)$.

On considère la fonction $p$ définie sur $ℝ$ par $p(x)=-0,5(x+4)(x-2)$.

1. Démontrer que la parabole de $p$ a pour axe de symétrie la droite d’équation $x=-1$. Contrôle : $p(0)=$
   Rédaction attendue. Les racines de $p$ sont $-4$ et $2$ (produit nul). Les points $(-4;0)$ et $(2;0)$ de la parabole ont la même ordonnée : ils sont symétriques par rapport à l’axe, qui passe donc par leur milieu, d’abscisse ${\displaystyle \frac{-4+2}{2}}=-1$. Contrôle : $p(0)$ $=-0,5\times 4\times (-2)$ $=4$.
2. Maximum de $p$ :
   $p(-1)$ $=-0,5\times 3\times (-3)$ $=4,5$, et $a=-0,5<0$ : maximum $4,5$, atteint en $x=-1$.
3. $p(-6)=$
   $p(-6)$ $=-0,5\times (-2)\times (-8)$ $=-8$.
4. Autre abscisse qui a la même image que $-6$ :
   $-6$ est à $5$ unités à gauche de l’axe $x=-1$ ; son symétrique est à $5$ unités à droite : $-1+5=4$. Contrôle : $p(4)$ $=-0,5\times 8\times 2$ $=-8$.

Une parabole $𝒫$ représente une fonction du second degré $f$. Son sommet est le point $S(1;-8)$ et elle passe par le point $A(3;0)$.

1. Seconde racine de $f$ :
   $3$ est une racine, à $2$ unités à droite de l’axe $x=1$ ; la seconde est à $2$ unités à gauche : $1-2=-1$.
2. En déduire, en justifiant, une forme factorisée de $f$, puis déterminer $a$ :
   Rédaction attendue. Les racines de $f$ sont $3$ et $-1$, donc $f(x)=a(x-3)(x+1)$ avec $a\ne 0$. Le sommet $S(1;-8)$ est sur $𝒫$ : $f(1)$ $=a\times (-2)\times 2$ $=-4a$ $=-8$, d’où $a=2$. C’est positif, ce qui est cohérent avec un sommet qui est un minimum.
3. Forme développée : $f(x)=a{x}^2+bx+c$ avec $b=$ et $c=$
   $2(x-3)(x+1)$ $=2(x^2+x-3x-3)$ $=2(x^2-2x-3)$ $=2x^2-4x-6$.
4. $f(4)=$
   $f(4)$ $=2\times (4-3)\times (4+1)$ $=2\times 1\times 5$ $=10$.

Trouver l’axe de symétrie en résolvant $f(x)=c$.

1. $f(x)=x^2-8x+10$ : solutions de $f(x)=10$ : et
   $x^2-8x+10$ $=10$ $⟺x^2-8x$ $=0$ $⟺x(x-8)$ $=0$ : $x=0$ ou $x=8$.
2. Axe de symétrie de la parabole de $f$ : $x=$
   Les abscisses $0$ et $8$ ont la même image, $10$ : l’axe passe par leur milieu, $4$.
3. Minimum de $f$ :
   $f(4)=16-32+10=-6$, et $a=1>0$ : minimum $-6$.
4. $g(x)=-3x^2+18x+2$ : sommet d’abscisse et d’ordonnée
   $g(x)$ $=2$ $⟺-3x^2+18x$ $=0$ $⟺-3x(x-6)$ $=0$ : $x=0$ ou $x=6$, axe $x=3$. Puis $g(3)=-27+54+2=29$ : maximum, car $a=-3<0$.

Passer de la forme factorisée à la forme développée.

1. $(x-8)(x+3)=x^2+bx+c$ avec $b=$ et $c=$
   $(x-8)(x+3)$ $=x^2+3x-8x-24$ $=x^2-5x-24$.
2. Démontrer que, pour tout réel $x$, $-x^2+3x+18$ $=-(x-6)(x+3)$. Contrôle : maximum de $-x^2+3x+18$ :
   Rédaction attendue. On développe : $(x-6)(x+3)$ $=x^2+3x-6x-18$ $=x^2-3x-18$, donc $-(x-6)(x+3)$ $=-x^2+3x+18$ : l’égalité est vraie pour tout réel $x$. Les racines sont $6$ et $-3$, l’axe est $x$ $={\displaystyle \frac{6+(-3)}{2}}$ $=1,5$, et, comme $a=-1<0$, le maximum vaut $-(1,5-6)(1,5+3)$ $=4,5\times 4,5$ $=20,25$.
3. $4x^2-9=(2x-k)(2x+k)$ avec $k=$
   Différence de deux carrés : $4x^2-9$ $=(2x{)}^2-3^2$ $=(2x-3)(2x+3)$.

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=-x^2+4x+12$.

1. $f(-2)=$
   $f(-2)$ $=-(-2{)}^2+4\times (-2)+12$ $=-4-8+12$ $=0$ : $-2$ est une racine de $f$.
2. Axe de symétrie (résous $f(x)=12$) : $x=$
   $-x^2+4x$ $=0$ $⟺-x(x-4)$ $=0$ : $x=0$ ou $x=4$ ; l’axe passe par le milieu, $2$.
3. Seconde racine de $f$ :
   $-2$ est à $4$ unités à gauche de l’axe $x=2$ ; la seconde racine est à $4$ unités à droite : $6$.
4. En déduire une forme factorisée de $f$, la vérifier en développant, puis donner le maximum de $f$ :
   Rédaction attendue. Les racines sont $-2$ et $6$, et $a=-1$ : on propose $f(x)=-(x+2)(x-6)$. Vérification : $-(x+2)(x-6)$ $=-(x^2-6x+2x-12)$ $=-(x^2-4x-12)$ $=-x^2+4x+12$. Le maximum est l’image de l’axe : $f(2)$ $=-(2+2)(2-6)$ $=-4\times (-4)$ $=16$.

Un élève étudie la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2+2x+5$ et écrit : « L’abscisse du sommet est $-1$, donc $f$ s’annule en $-1$ et la parabole coupe l’axe des abscisses. »

1. Solutions de $f(x)=5$ : et
   $x^2+2x=0⟺x(x+2)=0$ : $x=0$ ou $x=-2$. Leur milieu, $-1$, est bien l’abscisse du sommet.
2. Expliquer l’erreur de l’élève. Contrôle : minimum de $f$ :
   Rédaction attendue. L’abscisse du sommet est bien $-1$, milieu de $-2$ et $0$. Mais l’élève confond l’abscisse du sommet et une racine : $f(-1)=1-2+5=4\ne 0$. Comme $a=1>0$, $4$ est le minimum de $f$ : $f(x)⩾4>0$ pour tout $x$. La parabole reste au-dessus de l’axe des abscisses et $f$ n’a aucune racine.
3. Vérifier que $f(x)-13=(x+4)(x-2)$. Nombre d’entiers $x$ tels que $f(x)<13$ :
   $(x+4)(x-2)$ $=x^2-2x+4x-8$ $=x^2+2x-8$ $=f(x)-13$. Avec $a=1>0$, $f(x)-13<0$ entre les racines $-4$ et $2$, exclues : les entiers $-3$, $-2$, $-1$, $0$ et $1$, soit $5$ entiers.

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=5(x-2)(x+6)$.

1. Racines de $f$, de la plus petite à la plus grande : et
   Produit nul : $x-2=0$ ou $x+6=0$, soit $x=2$ ou $x=-6$.
2. Signe de $f(x)$ entre les racines : (écris positif ou négatif)
   $a=5>0$ : $f(x)$ est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.
3. $f(x)⩾0$ : $S$ $=]-\infty ;u]\cup [v;+\infty [$ avec $u=$ et $v=$
   L’inégalité est large : les racines sont incluses. $S$ $=]-\infty ;-6]\cup [2;+\infty [$.
4. $f(0)=$
   $f(0)$ $=5\times (-2)\times 6$ $=-60$ : négatif, cohérent avec le tableau de signes puisque $0$ est entre $-6$ et $2$.

Donne le signe de l’expression pour la valeur indiquée (écris positif, négatif ou nul), sans calculer si possible.

1. $-2(x-1)(x-5)$ pour $x=3$ :
   $3$ est entre les racines $1$ et $5$, et $a=-2<0$ : signe contraire de $a$, donc positif. Contrôle : $(-2)\times 2\times (-2)=8$.
2. $0,5(x+4)(x-1)$ pour $x=-6$ :
   $-6$ est à l’extérieur des racines $-4$ et $1$ : signe de $a=0,5$, positif.
3. $-(x-7{)}^2$ pour $x=0$ :
   $(x-7{)}^2>0$ pour $x\ne 7$, donc $-(x-7{)}^2<0$ : $-(0-7{)}^2=-49$.
4. $6(x+2)(x-9)$ pour $x=9$ :
   $9$ est une racine : le facteur $x-9$ est nul, donc le produit aussi.

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=4x^2-24x+11$.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=(2x-1)(2x-11)$. Contrôle : racines de $f$, de la plus petite à la plus grande : et
   Rédaction attendue. On développe : $(2x-1)(2x-11)$ $=4x^2-22x-2x+11$ $=4x^2-24x+11$ $=f(x)$ pour tout réel $x$. Produit nul : $2x-1=0$ ou $2x-11=0$, soit $x=0,5$ ou $x=5,5$. Ainsi $f(x)=4(x-0,5)(x-5,5)$.
2. Axe de symétrie : $x=$
   Milieu des racines : ${\displaystyle \frac{0,5+5,5}{2}}=3$.
3. Minimum de $f$ :
   $f(3)=36-72+11=-25$ ; $a=4>0$ : c’est le minimum.
4. Nombre d’entiers $x$ tels que $f(x)<0$ :
   $a>0$ : $f(x)<0$ entre les racines, sur $]0,5;5,5[$. Les entiers $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$ conviennent : il y en a $5$.

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=0,5x^2-3x$.

1. Vérifier que $f(x)-8=0,5(x+2)(x-8)$. Nombre d’entiers $x$ tels que $f(x)⩽8$ :
   $0,5(x+2)(x-8)$ $=0,5(x^2-6x-16)$ $=0,5x^2-3x-8$ $=f(x)-8$. Avec $a=0,5>0$, $f(x)-8⩽0$ sur $[-2;8]$, racines incluses : les entiers de $-2$ à $8$, soit $11$ entiers.
2. Vérifier que $f(x)-13,5$ $=0,5(x+3)(x-9)$. Plus petit entier positif $x$ tel que $f(x)>13,5$ :
   $0,5(x+3)(x-9)$ $=0,5(x^2-6x-27)$ $=0,5x^2-3x-13,5$ $=f(x)-13,5$. Positif à l’extérieur des racines $-3$ et $9$, exclues : $f(x)>13,5$ pour $x<-3$ ou $x>9$. Le plus petit entier positif qui convient est $10$ ($f(9)=13,5$ exactement).
3. Justifier que l’inéquation $f(x)<-5$ n’a aucune solution. Contrôle : minimum de $f$ :
   Rédaction attendue. $f(x)=0,5x(x-6)$ a pour racines $0$ et $6$ : l’axe est $x=3$ et $f(3)=4,5-9=-4,5$. Comme $a=0,5>0$, $-4,5$ est le minimum : $f(x)⩾-4,5>-5$ pour tout $x$, donc $f(x)<-5$ n’a aucune solution.
4. Nombre de solutions de l’équation $f(x)=-4,5$ :
   $-4,5$ est le minimum, atteint seulement au sommet : une seule solution, $x=3$.

Du haut d’un rocher, on lance un caillou vers le haut. Sa hauteur au-dessus du sol, en mètres, est $h(t)=-5t^2+15t+20$ au bout de $t$ secondes.

1. Hauteur du rocher : m
   Au départ, $t=0$ : $h(0)=20$ m, le terme constant de la forme développée.
2. Solutions de $h(t)=20$ : $0$ et
   $-5t^2+15t$ $=0$ $⟺-5t(t-3)$ $=0$ : $t=0$ ou $t=3$.
3. Hauteur maximale atteinte : m
   L’axe passe par le milieu de $0$ et $3$ : $t=1,5$. $h(1,5)$ $=-11,25+22,5+20$ $=31,25$ m ($a=-5<0$ : maximum).
4. On admet que $h(t)=-5(t+1)(t-4)$. Durée du vol du caillou, jusqu’au sol : s
   $h(t)=0$ pour $t=-1$ ou $t=4$ ; un temps est positif, on écarte $-1$ : le caillou touche le sol au bout de $4$ s.

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit mesurent $x$ et $14-x$ centimètres. On note $A(x)$ son aire, en cm².

1. $x$ appartient à $]0;k[$ avec $k=$
   Les deux longueurs sont strictement positives : $x>0$ et $14-x>0$, soit $0<x<14$.
2. Aire pour $x=2$ : cm²
   $A(x)={\displaystyle \frac{x(14-x)}{2}}$, donc $A(2)$ $={\displaystyle \frac{2\times 12}{2}}$ $=12$ cm².
3. Valeur de $x$ qui rend l’aire maximale :
   $A(x)=-0,5x(x-14)$ : racines $0$ et $14$, axe $x=7$, dans $]0;14[$ ; $a=-0,5<0$ : maximum.
4. Aire maximale : cm²
   $A(7)$ $={\displaystyle \frac{7\times 7}{2}}$ $=24,5$ cm² : le triangle est isocèle rectangle.

On plie une plaque de métal de $24$ cm de large pour former une gouttière : on relève deux bords de même hauteur $x$ cm, et le fond mesure alors $24-2x$ cm. On note $S(x)$ l’aire de la section de la gouttière, en cm² : plus elle est grande, plus la gouttière évacue d’eau.

1. $x$ appartient à $]0;k[$ avec $k=$
   Il faut $x>0$ et un fond de largeur positive : $24-2x>0$, soit $x<12$.
2. Justifier que $S(x)=-2x(x-12)$. Contrôle : $S(2)=$ cm²
   Rédaction attendue. La section est un rectangle de hauteur $x$ et de largeur $24-2x$ : $S(x)=x(24-2x)$. Or $24-2x=-2(x-12)$, donc $S(x)=-2x(x-12)$. Contrôle : $S(2)=2\times 20=40$ cm².
3. Hauteur des bords qui rend la section maximale : cm
   Racines $0$ et $12$ : l’axe est $x=6$, dans $]0;12[$, et $a=-2<0$ : maximum.
4. Section maximale : cm²
   $S(6)$ $=6\times (24-12)$ $=6\times 12$ $=72$ cm² : le fond est alors deux fois plus large que les bords sont hauts.

Une usine peut produire au plus $10$ tonnes d’un produit par mois. Pour $x$ tonnes, son bénéfice est $B(x)=-x^2+28x-160$ milliers d’euros, avec $0⩽x⩽10$.

1. Vérifier que $B(x)=-(x-8)(x-20)$. Contrôle : $B(9)=$
   $-(x-8)(x-20)$ $=-(x^2-20x-8x+160)$ $=-x^2+28x-160$. Puis $B(9)=-(1)\times (-11)=11$.
2. Plus petite production entière, en tonnes, pour laquelle l’usine ne perd pas d’argent :
   $a=-1<0$ : $B(x)⩾0$ entre les racines $8$ et $20$, incluses. Sur $[0;10]$ : $B(x)⩾0$ pour $8⩽x⩽10$ ; à $8$ tonnes, le bénéfice est nul.
3. Abscisse du sommet de la parabole :
   Milieu des racines : ${\displaystyle \frac{8+20}{2}}=14$.
4. Justifier que le bénéfice maximal sur $[0;10]$ est atteint pour $10$ tonnes. Il vaut milliers d’euros
   Rédaction attendue. $a=-1<0$ : $B$ est croissante sur $]-\infty ;14]$. Or $[0;10]$ est inclus dans cet intervalle, donc $B$ est croissante sur $[0;10]$ et son maximum est atteint à la borne $10$ : $B(10)=-(2)\times (-10)=20$ milliers d’euros. Le sommet, en $14$, est hors du domaine.
5. Si la capacité passait à $16$ tonnes, bénéfice maximal : milliers d’euros
   $14$ est alors dans $[0;16]$ : le maximum est au sommet, $B(14)=-(6)\times (-6)=36$ milliers d’euros.