Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Le second degré
Trinôme, parabole, discriminant et racines — 1re sans spé
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Laquelle de ces expressions est un trinôme du second degré ?
- A. $3x + 2$
- B. $x^2 - 4$
- C. $x^3 + 1$
- D. $\frac{1}{x}$
Réponse
B. $x^2 - 4$ — $x^2 - 4$ a la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=1$.
Dans $f(x) = 5x^2 - 2x + 7$, le coefficient dominant $a$ vaut :
- A. $5$
- B. $-2$
- C. $7$
- D. $2$
Réponse
A. $5$ — $a$ est le nombre devant $x^2$.
La formule du discriminant est :
- A. $b^2 + 4ac$
- B. $b^2 - 4ac$
- C. $b - 4ac$
- D. $4ac - b^2$
Réponse
B. $b^2 - 4ac$ — $\Delta = b^2 - 4ac$ par définition.
Si $\Delta \lt 0$, le trinôme a :
- A. deux racines
- B. une racine double
- C. aucune racine réelle
- D. trois racines
Réponse
C. aucune racine réelle — Un discriminant négatif signifie aucune solution réelle.
La courbe d'un trinôme s'appelle :
- A. une droite
- B. une parabole
- C. un cercle
- D. une hyperbole
Réponse
B. une parabole — La courbe de $ax^2+bx+c$ est une parabole.
Si $a \gt 0$, la parabole est tournée :
- A. vers le haut
- B. vers le bas
- C. vers la droite
- D. vers la gauche
Réponse
A. vers le haut — $a \gt 0$ : parabole vers le haut, elle a un minimum.
Pour $x^2 - 2x + 1$, le discriminant vaut :
- A. $-4$
- B. $0$
- C. $4$
- D. $8$
Réponse
B. $0$ — $\Delta = 4 - 4 = 0$.
L'abscisse du sommet d'une parabole est donnée par :
- A. $-\frac{b}{2a}$
- B. $\frac{b}{2a}$
- C. $-\frac{a}{2b}$
- D. $b^2-4ac$
Réponse
A. $-\frac{b}{2a}$ — $\alpha = -\frac{b}{2a}$.
L'ordonnée à l'origine du trinôme $ax^2+bx+c$ est :
- A. $a$
- B. $b$
- C. $c$
- D. $0$
Réponse
C. $c$ — $f(0) = c$.
Si $a \lt 0$, le sommet de la parabole est :
- A. un minimum
- B. un maximum
- C. une racine
- D. l'origine
Réponse
B. un maximum — $a \lt 0$ : parabole vers le bas, le sommet est un maximum.
Une racine d'un trinôme $f$ est un nombre $r$ tel que :
- A. $f(r) = 1$
- B. $f(r) = r$
- C. $f(r) = 0$
- D. $f(0) = r$
Réponse
C. $f(r) = 0$ — Une racine annule le trinôme : $f(r) = 0$.
Pour qu'une expression $ax^2+bx+c$ soit un trinôme, il faut :
- A. $a = 0$
- B. $b = 0$
- C. $a \neq 0$
- D. $c \neq 0$
Réponse
C. $a \neq 0$ — La condition est $a \neq 0$, sinon il n'y a pas de terme en $x^2$.
Niveau moyen — 12 questions
Les solutions de $x^2 - 5x + 4 = 0$ sont :
- A. $1$ et $4$
- B. $2$ et $2$
- C. $-1$ et $-4$
- D. $1$ et $-4$
Réponse
A. $1$ et $4$ — $\Delta = 25-16 = 9$, $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Le sommet de la parabole $y = x^2 - 4x + 1$ a pour abscisse :
- A. $4$
- B. $-2$
- C. $2$
- D. $1$
Réponse
C. $2$ — $\alpha = -\frac{-4}{2} = 2$.
Combien de racines a $x^2 + 3x + 5$ ?
- A. $0$
- B. $1$
- C. $2$
- D. $3$
Réponse
A. $0$ — $\Delta = 9 - 20 = -11 \lt 0$ : aucune racine réelle.
L'équation $x^2 = 9$ a pour solutions :
- A. $3$ seulement
- B. $-3$ et $3$
- C. $0$ et $3$
- D. aucune
Réponse
B. $-3$ et $3$ — $x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ ou $x = -3$.
Le trinôme $x^2 - 6x + 9$ a :
- A. deux racines distinctes
- B. une racine double
- C. aucune racine
- D. trois racines
Réponse
B. une racine double — $\Delta = 36 - 36 = 0$ : racine double $x_0 = 3$.
Résoudre $x^2 - 4 \gt 0$ :
- A. $]-2;2[$
- B. $]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[$
- C. $[-2;2]$
- D. $\mathbb{R}$
Réponse
B. $]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[$ — Racines $\pm 2$, $a \gt 0$ : positif à l'extérieur.
L'équation $x^2 - 5x = 0$ a pour solutions :
- A. $0$ et $5$
- B. $5$ seulement
- C. $-5$ et $5$
- D. $0$ seulement
Réponse
A. $0$ et $5$ — $x(x-5)=0 \Rightarrow x=0$ ou $x=5$.
Pour $f(x) = -x^2 + 6x - 5$, l'ordonnée du sommet $\beta$ vaut :
- A. $3$
- B. $4$
- C. $-5$
- D. $5$
Réponse
B. $4$ — $\alpha = 3$, $\beta = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$.
Le trinôme $x^2 + 4x + 5$ est :
- A. toujours positif
- B. toujours négatif
- C. nul en $x = -2$
- D. positif pour $x \gt 0$
Réponse
A. toujours positif — $\Delta = 16 - 20 = -4 \lt 0$ et $a \gt 0$ : toujours positif.
Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $x^2 - 7x + 10$, alors $x_1 + x_2 = $ :
- A. $10$
- B. $7$
- C. $-7$
- D. $3$
Réponse
B. $7$ — $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 7$.
Résoudre $x^2 = 2x + 8$ :
- A. $-2$ et $4$
- B. $2$ et $4$
- C. $-4$ et $2$
- D. $-2$ et $-4$
Réponse
A. $-2$ et $4$ — $x^2 - 2x - 8 = 0$, $\Delta = 36$, $x = \frac{2\pm6}{2}$ : $-2$ et $4$.
Le signe de $-x^2 + 1$ entre ses racines $-1$ et $1$ est :
- A. positif
- B. négatif
- C. nul
- D. indéfini
Réponse
A. positif — $a = -1 \lt 0$ : positif entre les racines.
Niveau difficile — 12 questions
Pour quelle valeur de $k$ le trinôme $x^2 + kx + 9$ a-t-il une racine double ?
- A. $3$
- B. $\pm 6$
- C. $9$
- D. $\pm 3$
Réponse
B. $\pm 6$ — $\Delta = k^2 - 36 = 0 \Rightarrow k = \pm 6$.
Le maximum de $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ est :
- A. $3$
- B. $5$
- C. $8$
- D. $-3$
Réponse
B. $5$ — $\alpha = 2$, $\beta = -8 + 16 - 3 = 5$.
L'inéquation $x^2 - 4x + 4 \lt 0$ a pour solutions :
- A. $\{2\}$
- B. $\mathbb{R}$
- C. $\emptyset$ (aucune)
- D. $]-\infty;2[$
Réponse
C. $\emptyset$ (aucune) — $(x-2)^2 \lt 0$ est impossible : aucune solution.
Si $f(x) = x^2 - 2x + m$ est toujours strictement positif, alors :
- A. $m \gt 1$
- B. $m \geq 1$
- C. $m \lt 1$
- D. $m = 1$
Réponse
A. $m \gt 1$ — $\Delta = 4 - 4m \lt 0 \Rightarrow m \gt 1$.
La factorisation de $x^2 - 9$ est :
- A. $(x-3)^2$
- B. $(x-3)(x+3)$
- C. $(x-9)(x+1)$
- D. $(x+3)^2$
Réponse
B. $(x-3)(x+3)$ — Différence de carrés : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
Si $f(x) = 3x^2 + bx + 3$ a deux racines distinctes, alors :
- A. $-6 \lt b \lt 6$
- B. $b \lt -6$ ou $b \gt 6$
- C. $b = \pm 6$
- D. $b \gt 0$
Réponse
B. $b \lt -6$ ou $b \gt 6$ — $\Delta = b^2 - 36 \gt 0 \Rightarrow b \lt -6$ ou $b \gt 6$.
On a $f(x) = (x-1)(x-5)$. L'abscisse du sommet est :
- A. $1$
- B. $5$
- C. $3$
- D. $0$
Réponse
C. $3$ — Le sommet est au milieu des racines : $\frac{1+5}{2} = 3$.
Combien de solutions a l'équation $x^2 + |x| - 2 = 0$ ?
- A. $0$
- B. $1$
- C. $2$
- D. $4$
Réponse
C. $2$ — Avec $u = |x| \geq 0$ : $u^2+u-2=0$, $u=1$. $|x|=1 \Rightarrow x = \pm 1$ : 2 solutions.
L'équation $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ (poser $u = x^2$) a combien de solutions réelles ?
- A. $1$
- B. $2$
- C. $3$
- D. $4$
Réponse
D. $4$ — $u^2 - 5u + 4 = 0$, $u = 1$ ou $u = 4$ : $x = \pm 1$ et $x = \pm 2$, soit 4 solutions.
Le trinôme $f(x) = x^2 + px + q$ passe par $(0\,;\,2)$ et $(1\,;\,0)$. Alors $p + q$ vaut :
- A. $-3$
- B. $-1$
- C. $1$
- D. $2$
Réponse
B. $-1$ — $f(0) = q = 2$ et $f(1) = 1 + p + q = 0 \Rightarrow p = -3$. Donc $p+q = -1$.
Une parabole a son sommet en $(2\,;\,-1)$ et passe par $(0\,;\,3)$. Son coefficient $a$ vaut :
- A. $1$
- B. $2$
- C. $-1$
- D. $4$
Réponse
A. $1$ — Avec $y = a(x-2)^2 - 1$ : $3 = a\times4 - 1 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1$.
Le nombre de points d'intersection de la parabole $y = x^2 + 1$ avec l'axe des abscisses est :
- A. $0$
- B. $1$
- C. $2$
- D. une infinité
Réponse
A. $0$ — $x^2 + 1 = 0$ n'a pas de solution réelle : la parabole ne coupe pas l'axe des $x$.
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