Fonctions du second degré : paraboles et forme factorisée

B. f(x) = −x² + 3x — Il faut un terme en x² de coefficient non nul et aucun terme de degré plus grand : seule −x² + 3x convient (a = −1, b = 3, c = 0). 5x − 7 est affine, x³ − x² est de degré 3, et 2/x n’est pas un polynôme.

C. une parabole — Toute fonction x ↦ ax² + bx + c avec a ≠ 0 est représentée par une parabole, d’axe de symétrie vertical.

A. −4 — a est le coefficient de x², signe compris : a = −4. Le nombre 3 est b, et −9 est c.

D. admet un minimum, égal à 5 — a > 0 : parabole tournée vers le haut, de sommet (0 ; 5), donc minimum 5. Comme a et 5 sont positifs, la fonction ne s’annule jamais.

B. 8 et −2 — Le produit est nul si x − 8 = 0 ou x + 2 = 0, donc pour x = 8 ou x = −2 : le facteur x + 2 s’annule en −2.

D. vers le bas — On retire 6 à toutes les images : la courbe descend de 6 unités et son sommet passe de (0 ; 0) à (0 ; −6).

A. (0 ; 4) — Pour ax² + c, le sommet est (0 ; c) : ici (0 ; 4), et c’est un maximum car a = −3 < 0.

C. −10 et 10 — 100 > 0 : deux solutions opposées, 10 et −10, car 10² = 100 et (−10)² = 100.

D. x = 4 — L’axe passe par le milieu des racines 2 et 6 : x = (2 + 6)/2 = 4. C’est une droite verticale, d’équation de la forme x = …

A. vers le bas, car a = −2 — Le sens de la parabole ne dépend que du signe de a, le nombre devant les parenthèses : a = −2 < 0, elle est tournée vers le bas. La valeur de f(0) et les racines n’y changent rien.

B. 3 — f(0) = 2 × 0 − 5 × 0 + 3 = 3 : c’est le coefficient c, l’ordonnée du point où la parabole coupe l’axe des ordonnées.

C. 0 et −4 — Produit nul : x = 0 ou x + 4 = 0, soit x = −4. Les deux solutions sont 0 et −4.

C. −5 et 5 — 3x² = 75 donne x² = 25, donc x = 5 ou x = −5 : on n’oublie pas la solution négative.

A. (7 ; −16) — Axe : milieu de 3 et 11, soit x = 7. Puis f(7) = 4 × (−4) = −16 : sommet (7 ; −16), un minimum car a = 1 > 0.

D. −2 — L’abscisse du sommet est le milieu des racines : (−7 + 3)/2 = −2, par symétrie de la parabole.

B. négative sur ]1 ; 6[ — a = 1 > 0 : positive à l’extérieur des racines 1 et 6, négative entre elles. Contrôle : f(2) = 1 × (−4) = −4.

A. 25 — Racines 0 et 10, axe x = 5, et f(5) = 5 × 5 = 25. Le maximum est 25 ; 5 est l’abscisse où il est atteint.

C. −x² + 3x + 10 — (x + 2)(x − 5) = x² − 5x + 2x − 10 = x² − 3x − 10, puis on change tous les signes : −x² + 3x + 10.

B. 0 et 10 — x² − 10x = 0 équivaut à x(x − 10) = 0 : x = 0 ou x = 10. Ces deux abscisses ont la même image : l’axe est la droite x = 5.

D. −3 — f(x) = −1 équivaut à 2x² + 12x = 0, soit 2x(x + 6) = 0 : x = 0 ou x = −6. Le milieu de 0 et −6 est −3.

A. [−1 ; 4] — a = −1 < 0 : l’expression est positive entre les racines −1 et 4 ; l’inégalité est large, les racines sont incluses.

D. (x + 7)(x − 7) — Différence de deux carrés : x² − 7² = (x + 7)(x − 7). Les racines sont 7 et −7.

C. a une seule racine, −2 — 3(x + 2)² = 0 équivaut à x + 2 = 0, soit x = −2 : racine double, la parabole touche l’axe des abscisses en (−2 ; 0).

B. 2 — c = f(0) = 1, puis f(2) = 4a + 1 = 9, donc 4a = 8 et a = 2. 9/4 oublie c, 8 est la valeur de 4a.

D. son minimum, f(−3) = 2, est positif — f(x) = 11 équivaut à x(x + 6) = 0 : x = 0 ou x = −6, donc l’axe est x = −3 et f(−3) = 9 − 18 + 11 = 2. Avec a > 0, c’est le minimum : f(x) ⩾ 2 > 0. Une seule image positive, comme f(0), ne prouverait rien.

B. pour x strictement entre x₁ et x₂ — f(x) est du signe de a (négatif) à l’extérieur des racines et du signe contraire (positif) entre elles.

C. pour m strictement négatif — L’équation s’écrit x² = −m : deux solutions si −m > 0, c’est-à-dire m < 0 ; une seule si m = 0 ; aucune si m > 0.

A. a est strictement négatif — Le sommet (0 ; 3) est au-dessus de l’axe. Si a > 0, la parabole monte et reste au-dessus ; si a < 0, elle redescend et coupe l’axe deux fois. Et a = 0 est exclu : ce ne serait plus du second degré.

C. ont la même parabole — En développant, (x − 3)(x − 7) = x² − 10x + 21 : ce sont deux écritures de la même fonction, donc la même courbe, les mêmes racines et le même sommet.

A. il a oublié la solution 0 — x² − 8x = 0 équivaut à x(x − 8) = 0 : x = 0 ou x = 8. En divisant par x, l’élève a supprimé la solution nulle.

D. une seule racine — −x² + 6x − 9 = −(x² − 6x + 9) = −(x − 3)² : l’équation −(x − 3)² = 0 n’a qu’une solution, x = 3 (racine double).

B. la demi-somme (x₁ + x₂)/2 — Les deux racines sont symétriques par rapport à l’axe : l’abscisse du sommet est leur milieu, (x₁ + x₂)/2.

B. x = 3 — A et B ont la même ordonnée : ils sont symétriques par rapport à l’axe, qui passe par le milieu de leurs abscisses, (−1 + 7)/2 = 3. Le nombre 4 est la demi-distance entre A et B, pas une abscisse.

A. x = 4 — L’axe est x = 9, hors de [0 ; 4]. Avec a = −1 < 0, B est croissante avant 9, donc sur [0 ; 4] : le maximum est à la borne 4.

D. [1 ; 5] — f(x) ⩾ 5 équivaut à −(x − 1)(x − 5) ⩾ 0 ; avec a = −1 < 0, c’est positif entre les racines, incluses car l’inégalité est large. [0 ; 6] serait l’ensemble où f(x) ⩾ 0.

C. 45 m — Racines 0 et 6 : axe t = 3, et h(3) = −15 × (−3) = 45 m. Le nombre 3 est l’instant du maximum, pas l’altitude.