Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Fonctions du second degré : paraboles et forme factorisée

Fonction carré, équations x² = k et produit nul (rappels de seconde), paraboles de x ↦ ax², x ↦ ax² + c et x ↦ a(x − x₁)(x − x₂), axe de symétrie, sommet, variations, racines et signe avec la forme factorisée, et modélisation d’un maximum ou d’un minimum, sans calculatrice et sans discriminant.

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés sans calculatrice, dans l’esprit de l’épreuve anticipée : la trajectoire d’un ballon lors d’un dégagement, un potager rectangulaire d’aire maximale dans un terrain triangulaire, le bénéfice d’un atelier de skateboards et un arc de pont parabolique, avec un programme Python à interpréter.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je choisis la variable (distance, largeur, prix, quantité) et je précise l’intervalle où elle a un sens.
J’exprime la grandeur en fonction de cette variable, puis je repère la forme obtenue : développée ou factorisée.
Je trouve l’axe sans formule : milieu des racines, ou milieu des solutions de $f (x) = c$ ; l’extremum est l’image de ce milieu, s’il est dans l’intervalle.
Pour un seuil « au moins $k$ », je vérifie la forme factorisée donnée de $f (x) - k$ en développant, puis je lis son tableau de signes.
Je conclus dans le contexte : phrase avec l’unité, solutions négatives écartées, réponse à la question posée (une hauteur, pas une abscisse).

Problème 1 · Le dégagement d’un gardien★★★Moyen

Lors d’un dégagement de volée, un gardien de but frappe le ballon. La hauteur du ballon, en mètres, est modélisée par

h (x)

= - 0, 02 x^{2} + 0, 72 x + 1, 52

, où

x

est la distance horizontale parcourue, en mètres, depuis le point de frappe. Le modèle est valable tant que le ballon n’a pas touché le sol.

1. Hauteur du ballon au moment de la frappe : m
Au moment de la frappe, $x = 0$ : $h (0) = 1, 52$ m, le terme constant de la forme développée.
2. Démontrer que, pour tout réel $x$ , $h (x) = - 0, 02 (x + 2) (x - 38)$ . Contrôle : distance à laquelle le ballon retombe au sol : m
Rédaction attendue. $(x + 2) (x - 38)$ $= x^{2} - 38 x + 2 x - 76$ $= x^{2} - 36 x - 76$ , donc $- 0, 02 (x + 2) (x - 38)$ $= - 0, 02 x^{2} + 0, 72 x + 1, 52$ $= h (x)$ pour tout réel $x$ . Les racines de $h$ sont $- 2$ et $38$ ; une distance parcourue est positive, on écarte $- 2$ : le ballon retombe à $38$ m du gardien.
3. Distance horizontale à laquelle le ballon est au plus haut : m
L’axe de la parabole passe par le milieu des racines : $\frac{- 2 + 38}{2} = 18$ . Comme $a = - 0, 02 < 0$ , c’est un maximum.
4. Hauteur maximale atteinte : m
$h (18)$ $= - 0, 02 \times 20 \times (- 20)$ $= 8$ m.
5. Un adversaire placé à $34$ m du gardien peut intercepter le ballon s’il passe à moins de $3$ m de haut. Hauteur du ballon à $34$ m : m
$h (34)$ $= - 0, 02 \times 36 \times (- 4)$ $= 2, 88$ m. Comme $2, 88 < 3$ , l’adversaire peut intercepter le ballon.
6. Vérifier que $h (x) - 6$ $= - 0, 02 (x - 8) (x - 28)$ . Longueur de la portion de trajectoire où le ballon est à au moins $6$ m du sol, mesurée à l’horizontale : m
$- 0, 02 (x - 8) (x - 28)$ $= - 0, 02 (x^{2} - 36 x + 224)$ $= - 0, 02 x^{2} + 0, 72 x - 4, 48$ $= h (x) - 6$ . Avec $a < 0$ , $h (x) - 6 ⩾ 0$ entre les racines : pour $8 ⩽ x ⩽ 28$ . Le ballon reste au-dessus de $6$ m sur $28 - 8 = 20$ m.

Problème 2 · Un potager dans un terrain triangulaire★★★Moyen

Un terrain a la forme d’un triangle

A B C

rectangle en

A

, avec

A B = 12

m et

A C = 8

m. On y installe un potager rectangulaire

A M P N

M

est sur le côté

[A B]

N

sur le côté

[A C]

P

sur l’hypoténuse

[B C]

. On note

x = A M

, en mètres, avec

0 < x < 12

1. Justifier, avec le théorème de Thalès, que $M P = 8 - \frac{2}{3} x$ . Contrôle : pour $x = 3$ , $M P =$ m
Rédaction attendue. $A M P N$ est un rectangle, donc $(M P)$ est perpendiculaire à $(A B)$ , comme $(A C)$ : les droites $(M P)$ et $(A C)$ sont parallèles. Dans le triangle $B A C$ , $M$ est sur $[B A]$ et $P$ sur $[B C]$ : d’après le théorème de Thalès, $\frac{M P}{A C}$ $= \frac{B M}{B A}$ , soit $M P$ $= 8 \times \frac{12 - x}{12}$ $= 8 - \frac{2}{3} x$ . Pour $x = 3$ : $M P = 8 - 2 = 6$ m.
2. L’aire du potager est $A (x)$ $= x (8 - \frac{2}{3} x)$ m². Écrire $A (x)$ sous forme factorisée. Racine non nulle de $A$ :
$8 - \frac{2}{3} x$ $= - \frac{2}{3} (x - 12)$ , donc $A (x) = - \frac{2}{3} x (x - 12)$ : les racines sont $0$ et $12$ (le potager disparaît quand $M$ est en $A$ ou en $B$ ).
3. Dimensions du potager d’aire maximale : $A M =$ m et $M P =$ m
L’axe passe par le milieu des racines : $x = 6$ , dans $] 0; 12 [$ , et $a = - \frac{2}{3} < 0$ donne un maximum. Pour $x = 6$ : $M P = 8 - 4 = 4$ m.
4. Aire maximale du potager : m²
$A (6) = 6 \times 4 = 24$ m².
5. Vérifier que $A (x) - 18$ $= - \frac{2}{3} (x - 3) (x - 9)$ . Le potager a une aire d’au moins $18$ m² pour $A M$ compris entre m et m
$- \frac{2}{3} (x - 3) (x - 9)$ $= - \frac{2}{3} (x^{2} - 12 x + 27)$ $= - \frac{2}{3} x^{2} + 8 x - 18$ $= A (x) - 18$ . Avec $a < 0$ , c’est positif ou nul entre les racines : $3 ⩽ x ⩽ 9$ .
6. Aire du terrain : m²
$\frac{A B \times A C}{2}$ $= \frac{12 \times 8}{2}$ $= 48$ m² : au mieux, le potager occupe exactement la moitié du terrain ( $24$ m²).

Problème 3 · Le bénéfice d’un atelier de skateboards★★★Difficile

Un atelier fabrique des planches de skateboard. On note

x

le nombre de centaines de planches produites et vendues, avec

0 ⩽ x ⩽ 12

. Le coût de production, en milliers d’euros, est

C (x) = x^{2} + 2 x + 15

, et la recette, en milliers d’euros, est

R (x) = 18 x

. Le bénéfice est

B (x) = R (x) - C (x)

1. Montrer que $B (x) = - x^{2} + 16 x - 15$ . Contrôle : $B (2) =$
Rédaction attendue. $B (x)$ $= 18 x - (x^{2} + 2 x + 15)$ $= 18 x - x^{2} - 2 x - 15$ $= - x^{2} + 16 x - 15$ . Contrôle : $B (2) = - 4 + 32 - 15 = 13$ , soit $13 000$ € de bénéfice pour $200$ planches.
2. Vérifier que $B (x) = - (x - 1) (x - 15)$ . Nombre de planches au-delà duquel l’atelier fait un bénéfice strictement positif :
$- (x - 1) (x - 15)$ $= - (x^{2} - 16 x + 15)$ $= - x^{2} + 16 x - 15$ . Racines $1$ et $15$ , $a = - 1 < 0$ : $B (x) > 0$ entre les racines. Sur $[0; 12]$ , cela donne $1 < x ⩽ 12$ : au-delà de $100$ planches. En deçà, l’atelier travaille à perte.
3. Production qui rend le bénéfice maximal : planches
L’axe passe par le milieu des racines : $\frac{1 + 15}{2} = 8$ , dans $[0; 12]$ . $x = 8$ centaines, soit $800$ planches.
4. Bénéfice maximal : €
$B (8)$ $= - (8 - 1) (8 - 15)$ $= - 7 \times (- 7)$ $= 49$ milliers d’euros, soit $49 000$ €.
5. Vérifier que $B (x) - 40 = - (x - 5) (x - 11)$ . Le bénéfice atteint au moins $40 000$ € pour une production comprise entre et planches
$- (x - 5) (x - 11)$ $= - (x^{2} - 16 x + 55)$ $= - x^{2} + 16 x - 55$ $= B (x) - 40$ . Positif ou nul entre les racines : $5 ⩽ x ⩽ 11$ , dans $[0; 12]$ , soit de $500$ à $1 100$ planches.
6. $B (12) =$ milliers d’euros
$B (12) = - (11) \times (- 3) = 33$ . Avec $1 200$ planches, le bénéfice tombe à $33 000$ € : au-delà de l’optimum, le coût augmente plus vite que la recette.

Problème 4 · Un arc de pont parabolique★★★Difficile

L’arc d’un pont a la forme d’un arc de parabole. Sa portée au sol est de

18

m et sa hauteur maximale, au centre, est de

8, 1

m. Dans un repère dont l’origine est le pied gauche de l’arc et dont l’axe des abscisses est au niveau du sol, la hauteur de l’arc, en mètres, est donnée par une fonction

f

du second degré, pour

0 ⩽ x ⩽ 18

1. Justifier que $f (x) = a x (x - 18)$ avec $a \neq 0$ , puis donner l’équation de l’axe de l’arc : $x =$
Rédaction attendue. L’arc touche le sol à ses deux pieds, d’abscisses $0$ et $18$ (la portée vaut $18$ m) : $0$ et $18$ sont les racines de $f$ . Une fonction du second degré de racines $0$ et $18$ s’écrit $f (x)$ $= a (x - 0) (x - 18)$ $= a x (x - 18)$ , avec $a \neq 0$ . L’axe passe par le milieu des racines : $x = 9$ .
2. Valeur de $a$ :
Le sommet est au centre : $f (9) = 8, 1$ , soit $a \times 9 \times (- 9)$ $= - 81 a$ $= 8, 1$ , d’où $a = - 0, 1$ . Il est négatif : l’arc est tourné vers le bas.
3. Forme développée : $f (x) = a x^{2} + b x$ avec $b =$
$f (x)$ $= - 0, 1 x (x - 18)$ $= - 0, 1 x^{2} + 1, 8 x$ .
4. Hauteur de l’arc à $4$ m du pied gauche : m
$f (4)$ $= - 0, 1 \times 4 \times (- 14)$ $= 5, 6$ m.
5. Un camion de $4, 3$ m de haut et de $6$ m de large passe sous l’arc en restant centré. Hauteur de l’arc à la verticale des bords du camion : m
Centré, le camion occupe les abscisses de $9 - 3 = 6$ à $9 + 3 = 12$ , symétriques par rapport à l’axe. Sur cet intervalle, l’arc est le plus bas aux bords : $f (6)$ $= - 0, 1 \times 6 \times (- 12)$ $= 7, 2$ m (et $f (12) = 7, 2$ m). Comme $7, 2 > 4, 3$ , le camion passe.
6. Vérifier que $f (x) - 6, 5$ $= - 0, 1 (x - 5) (x - 13)$ . Largeur de la zone où l’arc dépasse $6, 5$ m : m
$- 0, 1 (x - 5) (x - 13)$ $= - 0, 1 (x^{2} - 18 x + 65)$ $= - 0, 1 x^{2} + 1, 8 x - 6, 5$ $= f (x) - 6, 5$ . Avec $a < 0$ , c’est strictement positif entre les racines : $5 < x < 13$ , une zone de $13 - 5 = 8$ m de large.
7. On exécute le programme Python ci-dessous.
```
def hauteur(x):
    return -0.1*x*(x - 18)

for x in range(0, 19):
    if hauteur(x) > 6:
        print(x)
```
Nombre de valeurs affichées :
Le programme affiche les entiers $x$ de $0$ à $18$ tels que $f (x) > 6$ . D’après la question précédente, $f (x) > 6, 5$ pour les entiers de $6$ à $12$ , et $f (5) = f (13) = 6, 5 > 6$ ; mais $f (4) = f (14) = 5, 6 < 6$ . Il affiche donc $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ , $11$ , $12$ et $13$ : $9$ valeurs.

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