Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Fiche de révision : proportions et pourcentages

Proportion d’une sous-population, écritures décimale, fractionnaire et en pourcentage, population de référence, pourcentage d’une quantité, partie et tout, pourcentage de pourcentage, sans calculatrice.

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Automatismes : proportions et pourcentages

Fiche méthode

(Maths 1re (tronc commun) · Automatismes · Épreuve anticipée)

La démarche pour une question de proportion

1. Je repère la population de référence : « parmi les … », « de ces … ». Son effectif est le « tout ».

2. J’écris l’égalité partie $= p \times$ tout, et je traduis chaque pourcentage en coefficient ( $t % = \frac{t}{100}$ ).

3. Je calcule à la main : je simplifie les fractions, je combine des pourcentages simples ( $10 %$ , $5 %$ , $25 %$ …).

4. Je contrôle : une proportion est entre $0$ et $1$ , un tout est plus grand que sa partie, une proportion de proportion est plus petite que chacune des deux.

Le réflexe — tout part de l’égalité partie = proportion × tout, écrite avec la bonne population de référence.

Cas 1 · Écrire une proportion de trois façons

Réflexe — fraction partie/tout, simplifiée, puis écrite sur 100.

Exemple 1. Questions types : « La proportion … s’écrit aussi », « … représente quel pourcentage ? ». Exemple : écrire $0, 45$ sous forme de fraction irréductible et de pourcentage.

$0, 45 = \frac{45}{100}$ ; en simplifiant par $5$ , on obtient $\frac{9}{20}$ . En pourcentage : $45 %$ .

Exemple 2. Exemple : écrire $\frac{11}{20}$ en pourcentage.

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $5$ : $\frac{11}{20} = \frac{55}{100}$ , soit $55 %$ .

Attention — 0,03 = 3 % et non 0,03 %.

Cas 2 · Calculer une proportion sur la bonne référence

Réflexe — « parmi les … » donne le dénominateur ; complémentaire : 1 − p.

Exemple. Exemple : un club de $160$ adhérents compte $48$ mineurs, dont $12$ font de la compétition. Proportion de mineurs ? Proportion de compétiteurs parmi les mineurs ?

Parmi les adhérents : $\frac{48}{160} = \frac{3}{10}$ , soit $30 %$ de mineurs (et donc $70 %$ de majeurs, par complémentaire).

Parmi les mineurs : $\frac{12}{48} = \frac{1}{4}$ , soit $25 %$ .

Attention — Additionner les effectifs de deux groupes qui se chevauchent compte deux fois les éléments communs.

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Cas 3 · Calculer la partie ou le tout

Réflexe — partie = p × tout ; tout = partie ÷ p.

Exemple 1. Exemple : calculer $15 %$ de $340$ sans calculatrice.

$10 %$ de $340$ vaut $34$ et $5 %$ en est la moitié, $17$ . Donc $15 %$ de $340$ vaut $34 + 17 = 51$ .

Exemple 2. Exemple : $27$ élèves représentent $15 %$ des élèves d’un collège. Combien d’élèves compte le collège ?

$n = \frac{27}{0, 15} = \frac{2 700}{15} = 180$ élèves. Contrôle : $10 %$ de $180$ vaut $18$ , $5 %$ vaut $9$ , et $18 + 9 = 27$ .

Attention — Pour le tout, on divise par p : multiplier la partie par p donne un nombre encore plus petit.

Cas 4 · Pourcentage de pourcentage

Réflexe — populations emboîtées : on multiplie les coefficients.

Exemple. Exemple : $40 %$ des voyageurs d’une gare ont une carte de réduction, et $15 %$ d’entre eux ont une carte « senior ». Quelle proportion des voyageurs a une carte senior ?

$0, 15 \times 0, 40 = 0, 06$ , soit $6 %$ des voyageurs. Contrôle : $6 %$ est bien plus petit que $15 %$ et que $40 %$ .

Attention — 15 % de 40 % n’est ni 55 % ni 600 % : c’est 0,15 × 0,40 = 0,06.

Les pièges

Une proportion calculée supérieure à 100 % : la partie et le tout ont été inversés.
« Parmi les … » change le dénominateur : relire la question avant de diviser.
Groupes qui se chevauchent : on retire les éléments communs, sinon ils sont comptés deux fois.
Le tout se retrouve en divisant la partie par la proportion, pas en multipliant.
Deux groupes réunis : la moyenne des deux pourcentages est fausse dès que les effectifs diffèrent.
Pourcentage de pourcentage : on multiplie les coefficients, on n’additionne jamais les pourcentages.
Un pourcentage peut décrire une évolution (« augmenter de 3 % ») : ce n’est alors pas une proportion.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour toute question de proportion (repérer la population de référence, écrire partie = proportion × tout, calculer sans calculatrice, contrôler), avec un exemple rédigé pour chaque cas et la liste des pièges les plus fréquents.

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