Sujet du bac 2025 de spé maths — Amérique du Nord, jour 2 (général)

La fonction étudiée est $f(x)=x{e}^{-x}+2x-1$ (cohérente avec la dérivée seconde donnée).

Partie A

1. En $-\infty$ : $\underset{x\to -\infty }{lim}x=-\infty$ et $\underset{x\to -\infty }{lim}{e}^{-x}=+\infty$, donc par produit $\underset{x\to -\infty }{lim}x{e}^{-x}=-\infty$ ; de plus $\underset{x\to -\infty }{lim}(2x-1)=-\infty$. Par somme, $\underset{x\to -\infty }{lim}f(x)=-\infty$.

En $+\infty$ : $x{e}^{-x}={\displaystyle \frac{x}{e^x}}$ et, par croissances comparées, $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{e^x}{x}}=+\infty$, donc $\underset{x\to +\infty }{lim}x{e}^{-x}=0$ ; comme $\underset{x\to +\infty }{lim}(2x-1)=+\infty$, on obtient $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=+\infty$.

2. $x\mapsto x{e}^{-x}$ est un produit $uv$ avec $u(x)=x$, $u^{\prime }(x)=1$, $v(x)=e^{-x}$, $v^{\prime }(x)=-e^{-x}$. Donc $f^{\prime }(x)=e^{-x}-x{e}^{-x}+2$, soit $f^{\prime }(x)=(1-x)e^{-x}+2$.

3. On dérive $f^{\prime }$ : $f^{″}(x)=-e^{-x}+(1-x)\times (-e^{-x})=(-1-1+x)e^{-x}$, soit $f^{″}(x)=(x-2)e^{-x}$.

4. Comme $e^{-x}>0$, $f^{″}(x)$ a le signe de $x-2$ : $f^{″}(x)⩽0$ pour $x⩽2$ et $f^{″}(x)⩾0$ pour $x⩾2$. $f$ est concave sur $]-\infty ;2]$, convexe sur $[2;+\infty [$, et la courbe admet un point d'inflexion au point d'abscisse $2$, d'ordonnée $f(2)=2e^{-2}+3$.

5. $f^{\prime }$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée $f^{″}$. D'après la question 4, $f''<0$ sur $]-\infty;2[$ et $f''>0$ sur $]2;+\infty [$ : $f^{\prime }$ est strictement décroissante sur $]-\infty ;2]$ et strictement croissante sur $[2;+\infty [$. Elle admet un minimum en $x=2$ : $f^{\prime }(2)=(1-2)e^{-2}+2=2-e^{-2}=2-{\displaystyle \frac{1}{e^2}}$.

6. Le minimum de $f^{\prime }$ sur $\mathbb{R}$ est $2-e^{-2}\approx 1,86>0$ (car $e^{-2}<1<2$). Donc pour tout réel $x$, $f'(x)\geqslant 2-e^{-2}>0$ : $f^{\prime }$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$, et par conséquent $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

7. $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\underset{-\infty }{lim}f=-\infty$ et $\underset{+\infty }{lim}f=+\infty$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.

À la calculatrice : $f(0{,}37)\approx -0{,}004<0$ et $f(0{,}38)\approx 0{,}020>0$, donc $0{,}37<\alpha<0{,}38$.

8. Pour tout réel $x$, $f(x)-(2x-1)=x{e}^{-x}$, qui a le signe de $x$ puisque $e^{-x}>0$. Sur $]-\infty ;0[$, $C_f$ est en dessous de $\Delta$ ; sur $]0;+\infty [$, $C_f$ est au-dessus de $\Delta$ ; les deux se coupent au point $(0;-1)$.

Partie B

1. On pose $u(x)=x$ et $v^{\prime }(x)=e^{-x}$, d'où $u^{\prime }(x)=1$ et $v(x)=-e^{-x}$ ; $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[1;n]$. Par intégration par parties :

$I_n={[-x{e}^{-x}]}_1^n-{\displaystyle {\int }_1^n(-e^{-x})dx=-n{e}^{-n}+e^{-1}+{[-e^{-x}]}_1^n=-n{e}^{-n}+e^{-1}-e^{-n}+e^{-1}}$.

$I_n={\displaystyle \frac{2}{e}}-(n+1)e^{-n}$.

2. a) Sur $[1;n]$, on a $x>0$ donc $f(x)-(2x-1)=x{e}^{-x}⩾0$ : la courbe $C_f$ est au-dessus de $\Delta$. Les fonctions étant continues, l'aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites $x=1$, $x=n$ est ${\displaystyle {\int }_1^n(f(x)-(2x-1))dx={\int }_1^{n}x{e}^{-x}dx=I_n}$. L'aire de $D_n$ est $I_n$ (en unités d'aire).

2. b) $(n+1)e^{-n}={\displaystyle \frac{n+1}{e^n}}={\displaystyle \frac{n}{e^n}}+{\displaystyle \frac{1}{e^n}}$. Par croissances comparées, $\underset{n\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{n}{e^n}}=0$, et $\underset{n\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{1}{e^n}}=0$. Donc $\underset{n\to +\infty }{lim}{I}_n={\displaystyle \frac{2}{e}}\approx 0,74$ : l'aire du domaine $D_n$ tend vers ${\displaystyle \frac{2}{e}}$ unités d'aire.

La droite $D$ passe par le point $M_0(3;-2;1)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}(-1;3;4)$ ; le plan $P$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n}(2;-3;1)$.

1. VRAIE. La droite $D^{\prime }$ a pour vecteur directeur ${\overrightarrow{u}}^{\prime }(2;-6;-8)=-2\overrightarrow{u}$. Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et ${\overrightarrow{u}}^{\prime }$ sont colinéaires, donc $D$ et $D^{\prime }$ sont parallèles. (Elles sont même strictement parallèles : le point $(2;4;9)$ de $D^{\prime }$ n'est pas sur $D$ puisque $3-t=2$ impose $t=1$, ce qui donne $y=1\ne 4$.)

2. FAUSSE. $\overrightarrow{AB}(3;0;-5)$ et $\overrightarrow{AC}(8;0;8)$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. $D$ est orthogonale au plan $(ABC)$ si et seulement si $\overrightarrow{u}$ est orthogonal à ces deux vecteurs. Or $\overrightarrow{u}·\overrightarrow{AB}=-1\times 3+3\times 0+4\times (-5)=-23\ne 0$. Donc $D$ n'est pas orthogonale au plan $(ABC)$. (On peut aussi remarquer que $(ABC)$ est le plan $y=3$, de vecteur normal $\overrightarrow{j}$, non colinéaire à $\overrightarrow{u}$.)

3. FAUSSE. $\Delta$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{v}(2;-3;1)$, non colinéaire à $\overrightarrow{u}$ (car ${\displaystyle \frac{2}{-1}}\ne {\displaystyle \frac{-3}{3}}$) : les droites ne sont pas parallèles. Cherchons un point commun en résolvant le système :

$3-t=-4+2t^{\prime }$, $-2+3t=1-3t^{\prime }$, $1+4t=2+t^{\prime }$.

La première équation donne $t=7-2t^{\prime }$ ; en reportant dans la deuxième : $-2+21-6t^{\prime }=1-3t^{\prime }$, soit $3t^{\prime }=18$, $t^{\prime }=6$ et $t=-5$. Vérification dans la troisième : $1+4\times (-5)=-19$ et $2+6=8$ ; $-19\ne 8$, le système n'a pas de solution. $D$ et $\Delta$ ne sont pas sécantes (elles sont non coplanaires).

4. VRAIE. D'une part $\overrightarrow{EF}(2;-3;1)=\overrightarrow{n}$ est normal à $P$, donc la droite $(EF)$ est orthogonale à $P$. D'autre part $F\in P$ : $2\times (-3)-3\times (-3)+3-6=-6+9+3-6=0$. $F$ est donc bien le projeté orthogonal de $E$ sur $P$.

5. VRAIE. $P^{\prime }$ a pour vecteur normal ${\overrightarrow{n}}^{\prime }(-3;1;-a)$. $P^{\prime }$ est parallèle à $D$ si et seulement si $\overrightarrow{u}$ est orthogonal à ${\overrightarrow{n}}^{\prime }$ : $\overrightarrow{u}·{\overrightarrow{n}}^{\prime }=(-1)(-3)+3\times 1+4\times (-a)=6-4a$. Donc $P^{\prime }\parallel D⟺6-4a=0⟺a={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Il existe exactement une valeur, $a={\displaystyle \frac{3}{2}}$. (Pour cette valeur, $M_0\notin P^{\prime }$ car $-9-2-{\displaystyle \frac{3}{2}}+3\ne 0$ : $D$ est strictement parallèle à $P^{\prime }$.)

Les résultats sont arrondis à ${10}^{-4}$ près.

1. D'après l'énoncé : $P(C)=0,02$, $P(V)=0,9$ et, comme $62\%$ des personnes contaminées étaient vaccinées, $P_C(V)=0,62$.

2. a) $P(C\cap V)=P(C)\times P_C(V)=0,02\times 0,62$. $P(C\cap V)=0,0124$.

2. b) $C$ et $\overline{C}$ forment une partition, donc $P(V)=P(C\cap V)+P(\overline{C}\cap V)$, d'où $P(\overline{C}\cap V)=0,9-0,0124$. $P(\overline{C}\cap V)=0,8876$.

3. L'arbre commence par $C$ / $\overline{C}$ puis $V$ / $\overline{V}$. Premier niveau : $P(C)=0,02$ et $P(\overline{C})=0,98$. Branche $C$ : $P_C(V)=0,62$ et $P_C(\overline{V})=0,38$. Branche $\overline{C}$ : $P_{\overline{C}}(V)={\displaystyle \frac{P(\overline{C}\cap V)}{P(\overline{C})}}={\displaystyle \frac{0,8876}{0,98}}\approx 0,9057$ et $P_{\overline{C}}(\overline{V})=1-P_{\overline{C}}(V)\approx 0,0943$.

4. $P_V(C)={\displaystyle \frac{P(C\cap V)}{P(V)}}={\displaystyle \frac{0,0124}{0,9}}\approx 0,0138$. Parmi les personnes vaccinées, environ $1,38\%$ ont été contaminées.

5. a) FAUSSE. Parmi les personnes non contaminées, la proportion de vaccinées est $P_{\overline{C}}(V)\approx 0,9057$ et celle de non vaccinées $P_{\overline{C}}(\overline{V})\approx 0,0943$. Le rapport vaut $\dfrac{0{,}8876}{0{,}98-0{,}8876}=\dfrac{0{,}8876}{0{,}0924}\approx 9{,}6<10$. Il y a environ $9{,}6$ fois plus de vaccinés que de non vaccinés, pas dix fois plus.

5. b) VRAIE. $P_V(\overline{C})=1-P_V(C)=1-{\displaystyle \frac{0,0124}{0,9}}\approx 0,9862>0,98$. Plus de $98\%$ des personnes vaccinées n'ont pas été contaminées.

6. a) On répète $20$ fois, de façon identique et indépendante (tirages assimilés à des tirages avec remise), une épreuve de Bernoulli de succès « la personne est contaminée », de probabilité $p=0,02$ ; $X$ compte le nombre de succès. $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,02)$.

6. b) Pour $k$ entier entre $0$ et $20$, $P(X=k)={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{k}\right)}0,{02}^{k}0,{98}^{20-k}$. Donc $P(X=4)={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{4}\right)}\times 0,{02}^4\times 0,{98}^{16}=4845\times 0,{02}^4\times 0,{98}^{16}\approx 0,0006$ (arrondi à ${10}^{-4}$ ; valeur plus précise $5,6\times {10}^{-4}$). $P(X=4)\approx 0,0006$.

La suite est définie par $u_0=0$, $u_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $u_{n+2}=u_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{u}_n$.

Partie A

1. $u_2=u_1-{\displaystyle \frac{1}{4}}{u}_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; $u_3=u_2-{\displaystyle \frac{1}{4}}{u}_1={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$ ; $u_4=u_3-{\displaystyle \frac{1}{4}}{u}_2={\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ ; $u_5=u_4-{\displaystyle \frac{1}{4}}{u}_3={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{32}}={\displaystyle \frac{5}{32}}$.

2. Les termes semblent décroître vers $0$ : on conjecture que $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n=0$.

Partie B

1. $w_0=u_1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_0={\displaystyle \frac{1}{2}}-0$. $w_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

2. Pour tout entier naturel $n$ :

$w_{n+1}=u_{n+2}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_{n+1}=u_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{u}_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{u}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(u_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_n)={\displaystyle \frac{1}{2}}{w}_n$.

$(w_n)$ est géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et de premier terme $w_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

3. Pour tout entier naturel $n$, $w_n=w_0\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$, soit $w_n={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}$.

4. Par définition de $w_n$ : $u_{n+1}=w_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_n$, donc $u_{n+1}={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_n$ pour tout entier naturel $n$.

5. Montrons par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=n{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$.

Initialisation : $0\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^0=0=u_0$. La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $u_n=n{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$. D'après la question 4, $u_{n+1}={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times n{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}+n{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}=(n+1){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}$. La propriété est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=n{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$. (Contrôle : $u_3=3\times {\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$, $u_5={\displaystyle \frac{5}{32}}$, conformes au tableau.)

Partie C

1. Pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}-u_n=(n+1){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}-n{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}[(n+1)-2n]=(1-n){\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}$.

Pour $n⩾1$, $1-n⩽0$ et ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+1}>0$, donc $u_{n+1}-u_n⩽0$. La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $1$.

2. Pour tout $n$, $u_n=n{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n⩾0$ : la suite est minorée par $0$. Une suite décroissante (à partir d'un certain rang) et minorée converge, d'après le théorème de convergence monotone. $(u_n)$ est convergente.

3. La limite $l$ vérifie $l=l-{\displaystyle \frac{1}{4}}l$, soit ${\displaystyle \frac{1}{4}}l=0$, donc $l=0$. $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n=0$, ce qui confirme la conjecture de la partie A.