Sujet du bac 2025 de spé maths — Amérique du Nord, jour 1 (général)

Partie A

1. L'arbre a trois branches issues de la racine : $A$ avec la probabilité $0,25$, $B$ avec $0,15$ et $C$ avec $1-0,25-0,15=0,6$. Sur la branche $A$ : $S$ avec $0,9$ et $\overline{S}$ avec $0,1$ ; sur la branche $B$ : $S$ avec $0,8$ et $\overline{S}$ avec $0,2$ ; sur la branche $C$ : $S$ avec $0,85$ et $\overline{S}$ avec $0,15$. Sur chaque nœud, la somme des probabilités vaut bien $1$.

2. D'après la formule des probabilités composées, $P(B\cap S)=P(B)\times P_B(S)=0,15\times 0,8=0,12$. La probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est $0,12$.

3. $P(C\cap \overline{S})=P(C)\times P_C(\overline{S})=0,6\times 0,15=0,09$. $P(C\cap \overline{S})=0,09$ : il y a $9\%$ de chances qu'une connexion prise au hasard passe par le serveur C et soit instable.

4. Les événements $A$, $B$, $C$ forment une partition de l'univers (une connexion passe par un et un seul serveur). D'après la formule des probabilités totales :

$P(S)=P(A\cap S)+P(B\cap S)+P(C\cap S)=0,25\times 0,9+0,12+0,6\times 0,85=0,225+0,12+0,51=0,855$.

On a bien $P(S)=0,855$.

5. On cherche $P_S(B)={\displaystyle \frac{P(B\cap S)}{P(S)}}={\displaystyle \frac{0,12}{0,855}}\approx 0,1404$. Sachant que la connexion est stable, la probabilité qu'elle ait transité par le serveur B est environ $0,140$ (arrondi au millième).

Partie B

1. a) On répète $50$ fois de façon indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise) la même épreuve de Bernoulli dont le succès « la connexion est instable » a pour probabilité $0,145$ ; $X$ compte le nombre de succès. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,145$.

1. b) À la calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale) : $P(X⩽8)\approx 0,704$. La probabilité qu'au plus huit connexions soient instables est environ $0,704$.

2. a) L'événement contraire de « au moins une connexion instable » est « aucune connexion instable », c'est-à-dire $\{X_n=0\}$. Or $P(X_n=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)\times 0,{145}^0\times 0,{855}^n=0,{855}^n$. Donc $p_n=1-0,{855}^n$.

2. b) On résout $p_n⩾0,99$ :

$1-0,{855}^n⩾0,99⟺0,{855}^n⩽0,01⟺n\ln (0,855)⩽\ln (0,01)$ (la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$).

Comme $\ln(0{,}855)<0$, la division change le sens de l'inégalité : $n\geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}855)}\approx 29{,}4$.

La plus petite valeur cherchée est $n=30$. Vérification : $p_{29}=1-0{,}855^{29}\approx 0{,}9894<0{,}99$ et $p_{30}=1-0{,}855^{30}\approx 0{,}9909\geqslant 0{,}99$.

3. a) Par linéarité de l'espérance, $E(F_n)=E\left({\displaystyle \frac{X_n}{n}}\right)={\displaystyle \frac{1}{n}}E(X_n)={\displaystyle \frac{1}{n}}\times n\times 0,145$. $E(F_n)=0,145$.

3. b) D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à la variable aléatoire $F_n$, d'espérance $0,145$ et de variance $V(F_n)$, pour tout réel $\delta >0$ : $P(|F_n-0,145|⩾\delta )⩽{\displaystyle \frac{V(F_n)}{{\delta }^2}}$.

Avec $\delta =0,1$ : $P(|F_n-0,145|⩾0,1)⩽{\displaystyle \frac{0,123975}{n\times 0,01}}={\displaystyle \frac{12,3975}{n}}⩽{\displaystyle \frac{12,5}{n}}$ car $12,3975⩽12,5$. L'inégalité est vérifiée.

3. c) Pour $n=1000$, en fonctionnement habituel, $P(|F_{1000}-0,145|⩾0,1)⩽{\displaystyle \frac{12,5}{1000}}=0,0125$. Or la fréquence observée $F_{1000}=0,3$ vérifie $|0,3-0,145|=0,155⩾0,1$ : un tel écart a une probabilité inférieure à $1,25\%$ si les serveurs fonctionnent normalement. Le responsable a raison de soupçonner un dysfonctionnement : l'observation est très improbable sous l'hypothèse d'un fonctionnement habituel.

1. $u_1={\displaystyle \frac{2u_0+1}{u_0+2}}={\displaystyle \frac{2\times 2+1}{2+2}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$. $u_1={\displaystyle \frac{5}{4}}=1,25$.

2. a) $a_0={\displaystyle \frac{u_0}{u_0-1}}={\displaystyle \frac{2}{1}}=2$ et $a_1={\displaystyle \frac{u_1}{u_1-1}}={\displaystyle \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}}}=5$. $a_0=2$ et $a_1=5$.

2. b) Soit $n$ un entier naturel. On calcule d'abord $u_{n+1}-1={\displaystyle \frac{2u_n+1}{u_n+2}}-1={\displaystyle \frac{2u_n+1-u_n-2}{u_n+2}}={\displaystyle \frac{u_n-1}{u_n+2}}$.

Donc $a_{n+1}={\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_{n+1}-1}}={\displaystyle \frac{2u_n+1}{u_n+2}}\times {\displaystyle \frac{u_n+2}{u_n-1}}={\displaystyle \frac{2u_n+1}{u_n-1}}$.

D'autre part, $3a_n-1={\displaystyle \frac{3u_n}{u_n-1}}-1={\displaystyle \frac{3u_n-u_n+1}{u_n-1}}={\displaystyle \frac{2u_n+1}{u_n-1}}$.

Pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=3a_n-1$.

2. c) Remarque : l'hypothèse $a_n⩾3^n-1$ donne seulement $3a_n-1⩾3^{n+1}-4$, ce qui ne suffit pas à conclure directement ; on démontre donc par récurrence la propriété plus forte $𝒫(n)$ : « $a_n⩾3^n+1$ », pour tout entier $n⩾1$, qui entraîne l'inégalité demandée puisque $3^n+1⩾3^n-1$.

Initialisation : $a_1=5$ et $3^1+1=4$ ; on a $5⩾4$, donc $𝒫(1)$ est vraie.

Hérédité : soit $n⩾1$ tel que $a_n⩾3^n+1$. Alors $a_{n+1}=3a_n-1⩾3(3^n+1)-1=3^{n+1}+2⩾3^{n+1}+1$. Donc $𝒫(n+1)$ est vraie.

Conclusion : d'après le principe de récurrence, pour tout entier $n⩾1$, $a_n⩾3^n+1$, et par conséquent $a_n⩾3^n-1$ pour tout entier naturel $n⩾1$.

2. d) Comme $3>1$, $\underset{n\to +\infty }{lim}{3}^n=+\infty$, donc $\underset{n\to +\infty }{lim}(3^n-1)=+\infty$. Par le théorème de comparaison (minoration par une suite qui tend vers $+\infty$), $\underset{n\to +\infty }{lim}{a}_n=+\infty$.

3. a) Soit $n$ un entier naturel. Par définition $a_n(u_n-1)=u_n$, soit $a_n{u}_n-a_n=u_n$, soit $u_n(a_n-1)=a_n$. Or $a_n\ne 1$ (car $a_0=2$ et $a_n⩾3^n-1⩾2$ pour $n⩾1$), donc $u_n={\displaystyle \frac{a_n}{a_n-1}}$.

3. b) Pour tout $n$, $u_n={\displaystyle \frac{a_n}{a_n-1}}={\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{a_n}}}$. Comme $a_n\to +\infty$, ${\displaystyle \frac{1}{a_n}}\to 0$, donc $1-{\displaystyle \frac{1}{a_n}}\to 1$ et, par quotient, $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n=1$.

4. a) La variable u contient successivement $u_0=2$, puis $u_1$, $u_2$, … (ligne 5, la relation de récurrence) et n compte le nombre de termes calculés. La boucle s'arrête dès que $u-1⩽p$. Comme $(u_n)$ est décroissante et tend vers $1$, la valeur n renvoyée est le plus petit entier $n$ tel que $u_n-1⩽p$, c'est-à-dire le premier rang à partir duquel $u_n$ est à une distance au plus $p$ de sa limite $1$ ; u est la valeur du terme $u_n$ correspondant.

4. b) Pour $p=0,001$, l'appel algo(0.001) renvoie $n=6$ (on trouve $u_5-1\approx 0,0027>0,001$ et $u_6-1\approx 0,0009⩽0,001$).

Affirmation 1 : VRAIE. La droite $(d)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}(-2;0;-6)$ et l'axe des ordonnées a pour vecteur directeur $\overrightarrow{j}(0;1;0)$. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de $\overrightarrow{u}$ est nulle, pas celle de $\overrightarrow{j}$), donc les droites ne sont pas parallèles. Elles ne sont pas sécantes non plus : tout point de $(d)$ a pour ordonnée $y=-1$, et un point de $(d)$ situé sur l'axe des ordonnées devrait vérifier $x=0$ et $z=0$, soit $3-2t=0$ et $2-6t=0$, c'est-à-dire $t={\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $t={\displaystyle \frac{1}{3}}$, ce qui est impossible. Ni parallèles ni sécantes, les deux droites sont non coplanaires.

Affirmation 2 : VRAIE. Un plan orthogonal à $(d)$ admet pour vecteur normal $\overrightarrow{u}(-2;0;-6)$, ou plus simplement $\overrightarrow{n}(1;0;3)$ (colinéaire). Il a donc une équation de la forme $x+3z+k=0$. Il passe par $A(3;-3;-2)$ : $3+3\times (-2)+k=0$, d'où $k=3$. Le plan a pour équation $x+3z+3=0$.

Affirmation 3 : FAUSSE. Le point $C$ de $(d)$ d'abscisse $2$ correspond à $3-2t=2$, soit $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $C(2;-1;2-3)=C(2;-1;-1)$. On a $\overrightarrow{AB}(2;-1;1)$ et $\overrightarrow{AC}(-1;2;1)$.

$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=2\times (-1)+(-1)\times 2+1\times 1=-3$ ; $AB=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$ ; $AC=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$.

$\cos \widehat{BAC}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}}={\displaystyle \frac{-3}{6}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc $\widehat{BAC}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ et non ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

Affirmation 4 : VRAIE. Le plan $\mathcal{P}$ : $x+3z-7=0$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n}(1;0;3)$. La distance de $B(5;-4;-1)$ à $\mathcal{P}$ est $BH={\displaystyle \frac{|5+3\times (-1)-7|}{\sqrt{1^2+0^2+3^2}}}={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{5\sqrt{10}}{10}}={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$.

Si l'on ne connaît pas la formule de la distance : $H=B+t\overrightarrow{n}=(5+t;-4;-1+3t)$ appartient à $\mathcal{P}$ pour $5+t+3(-1+3t)-7=0$, soit $10t=5$, $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; alors $BH=|t|\Vert \overrightarrow{n}\Vert ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{10}$. $BH={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$.

Partie A

1. La courbe ${\mathcal{C}}_2$ coupe l'axe des abscisses en $-2$ et $1$ en changeant de signe (positive entre $-2$ et $1$, négative ailleurs, d'après la figure), et c'est précisément en $x=-2$ et $x=1$ que la courbe ${\mathcal{C}}_1$ admet des extremums locaux (un minimum en $-2$, un maximum en $1$), ${\mathcal{C}}_1$ étant croissante là où ${\mathcal{C}}_2$ est positive et décroissante là où ${\mathcal{C}}_2$ est négative. Le signe de la dérivée donne les variations de la fonction : ${\mathcal{C}}_1$ représente $g$ et ${\mathcal{C}}_2$ représente $g^{\prime }$. (L'association inverse est impossible : ${\mathcal{C}}_1$ change de sens de variation en $-2$ et en $1$ alors que ${\mathcal{C}}_2$ ne s'annule pas en ces points de la même manière ; on suppose ici la figure conforme à cette description, cohérente avec la partie B.)

2. La tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=g^{\prime }(0)(x-0)+g(0)$. Or $g(0)=1$ (${\mathcal{C}}_1$ coupe l'axe des ordonnées en $(0;1)$) et $g^{\prime }(0)=2$ (${\mathcal{C}}_2$ coupe l'axe des ordonnées en $(0;2)$). La tangente a pour équation réduite $y=2x+1$.

Partie B

1. $f_0$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables, et $f_0^{\prime }(x)=(2x+3)e^{-x}+(x^2+3x)\times (-e^{-x})=(2x+3-x^2-3x)e^{-x}$.

Alors $f_0(x)+f_0^{\prime }(x)=(x^2+3x)e^{-x}+(2x+3-x^2-3x)e^{-x}=(2x+3)e^{-x}$. $f_0$ est bien une solution particulière de $(E)$.

2. $(E_0)$ s'écrit $y^{\prime }=-y$. D'après le cours, les solutions de $y^{\prime }=ay$ sont les fonctions $x\mapsto K{e}^{ax}$, $K\in \mathbb{R}$. Les solutions de $(E_0)$ sont les fonctions $x\mapsto K{e}^{-x}$, avec $K\in \mathbb{R}$.

3. Les solutions de l'équation avec second membre $(E)$ sont les sommes d'une solution particulière de $(E)$ et des solutions de l'équation homogène $(E_0)$. Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $f_K:x\mapsto (x^2+3x)e^{-x}+K{e}^{-x}=(x^2+3x+K)e^{-x}$, avec $K\in \mathbb{R}$.

(Justification : si $f$ est solution de $(E)$, alors $(f-f_0)+(f-f_0{)}^{\prime }=(2x+3)e^{-x}-(2x+3)e^{-x}=0$, donc $f-f_0$ est solution de $(E_0)$ ; réciproquement, $f_0+K{e}^{-x}$ vérifie $(E)$ par linéarité.)

4. $g$ est de la forme $g(x)=(x^2+3x+K)e^{-x}$ et $g(0)=1$ d'après la partie A, soit $K\times e^0=1$, donc $K=1$. $g(x)=(x^2+3x+1)e^{-x}$. Contrôle : $g^{\prime }(x)=(-x^2-x+2)e^{-x}=-(x+2)(x-1)e^{-x}$, qui s'annule bien en $-2$ et $1$ et vaut $2$ en $0$.

5. Soit $K\in \mathbb{R}$ et $f_K(x)=(x^2+3x+K)e^{-x}$. On a $f_K^{\prime }(x)=(2x+3)e^{-x}-(x^2+3x+K)e^{-x}=(-x^2-x+3-K)e^{-x}$, puis

${f_K^{\prime }}^{\prime }(x)=(-2x-1)e^{-x}-(-x^2-x+3-K)e^{-x}=(x^2-x+K-4)e^{-x}$.

Comme $e^{-x}>0$, ${f_K^{\prime }}^{\prime }(x)$ a le signe du trinôme $x^2-x+K-4$. La courbe admet un point d'inflexion en chaque abscisse où ${f_K^{\prime }}^{\prime }$ s'annule en changeant de signe. Un trinôme du second degré change de signe exactement en ses racines lorsqu'il en a deux distinctes, et ne change pas de signe sinon. Son discriminant est $\Delta =(-1{)}^2-4(K-4)=17-4K$.

La courbe a exactement deux points d'inflexion si et seulement si $\Delta >0$, soit $K<\dfrac{17}{4}$. Les solutions cherchées sont les fonctions $x\mapsto (x^2+3x+K)e^{-x}$ avec $K<\dfrac{17}{4}$.

Partie C

1. Pour tout réel $x$, $f(x)=x^2{e}^{-x}+3x{e}^{-x}+2e^{-x}={\displaystyle \frac{x^2}{e^x}}+3{\displaystyle \frac{x}{e^x}}+{\displaystyle \frac{2}{e^x}}$. Par croissances comparées, $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{e^x}{x^2}}=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{e^x}{x}}=+\infty$, donc $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{x^2}{e^x}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{x}{e^x}}=0$ ; de plus $\underset{x\to +\infty }{lim}{e}^{-x}=0$. Par somme, $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=0$.

2. a) $f^{\prime }(x)=(2x+3)e^{-x}+(x^2+3x+2)\times (-e^{-x})=(2x+3-x^2-3x-2)e^{-x}=(-x^2-x+1)e^{-x}$. Vérifié.

2. b) $e^{-x}>0$ pour tout réel $x$, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $-x^2-x+1$. Discriminant : $\Delta =(-1{)}^2-4\times (-1)\times 1=5>0$ ; racines $x_1={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{-2}}={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\approx 0,62$ et $x_2={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{-2}}={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}}\approx -1,62$. Le coefficient de $x^2$ est négatif, donc le trinôme est positif entre les racines et négatif à l'extérieur.

Ainsi $f'(x)<0$ sur $\left]-\infty;\dfrac{-1-\sqrt5}{2}\right[$ et sur $\left]\dfrac{-1+\sqrt5}{2};+\infty\right[$, et $f'(x)>0$ sur $\left]{\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}};{\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right[$. Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty ;{\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}}]$, croissante sur $\left[{\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}};{\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right]$ et décroissante sur $[{\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}};+\infty [$, avec $\underset{-\infty }{lim}f=+\infty$ et $\underset{+\infty }{lim}f=0$.

3. Pour $x⩾0$, $x^2⩾0$, $3x⩾0$ et $2>0$, donc $x^2+3x+2>0$ ; comme $e^{-x}>0$, on obtient $f(x)>0$. $f$ est (strictement) positive sur $[0;+\infty [$. (On peut aussi remarquer que $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$, produit de deux facteurs positifs pour $x⩾0$.)

4. $f$ est continue et positive sur $[0;\alpha ]$, donc l'aire du domaine délimité par ${\mathcal{C}}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=\alpha$ est $\mathcal{A}(\alpha )={\displaystyle {\int }_0^{\alpha }f(x)dx=F(\alpha )-F(0)}$.

$F(0)=-7$, donc $\mathcal{A}(\alpha )=(-{\alpha }^2-5\alpha -7)e^{-\alpha }+7$. $\mathcal{A}(\alpha )=7-({\alpha }^2+5\alpha +7)e^{-\alpha }$ unités d'aire. (Contrôle : $F^{\prime }(x)=(-2x-5)e^{-x}+(x^2+5x+7)e^{-x}=(x^2+3x+2)e^{-x}=f(x)$, et $\mathcal{A}(\alpha )\to 7$ quand $\alpha \to +\infty$ par croissances comparées.)