Sujet du bac 2019 de mathématiques (série S) — Polynésie (S)

Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S (obligatoire) Polynésie 4 septembre 2019 /decofive Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats Les parties A et B peuvent être abordées de façon indépendante. Deux groupes de scientifiques, des spécialistes en environn ement et des biologistes, étudient l’évo- lution d’une population de grenouilles autour d’un étang. Partie A - Étude d’un modèle discret d’évolution Le groupe de spécialistes en environnement étudie le taux dedisponibilité des ressources nécessaires pour le développement de la population de grenouilles autour de l’étang. Ce taux dépend notamment du nombre de grenouilles présentes sur les lieux, de la quant ité de nourriture à disposition, de l’es- pace disponible et de la qualité de l’environnement. Une étude, menée en 2018 par ce premier groupe de scientifique s, a permis d’estimer le taux de dis- ponibilité des ressources à 0, 9 ; cela signifie que 90 % des res sources sont disponibles. On modélise le taux de disponibilité des ressources par la su ite (Tn) qui, à tout entier naturel n, asso- cie le taux de disponibilité des ressources n années après 2018. On a ainsi T0 = 0, 9. Le modèle choisi est tel que, pour tout entier naturel n, on a : Tn+1 = Tn − 0, 1T 2 n . 1. Certains spécialistes en environnement estiment qu’en 202 2, le taux de disponibilité des res- sources sera proche de 0, 4. Cette affirmation est-elle confo rme au modèle ? Pourquoi ? 2. On définit la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1] par f (x) = x − 0, 1x2. Ainsi, la suite (Tn) vérifie pour tout entier naturel n, Tn+1 = f (Tn ). a. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1]. b. Montrer que pour tout n entier naturel, on a : 0 ⩽ Tn+1 ⩽ Tn ⩽ 1. c. La suite (Tn) est-elle convergente ? Justifier la réponse. d. …