Sujet du bac 2019 de mathématiques (série S) — Nouvelle-Calédonie (S)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat S (obligatoire) – Nouvelle Calédonie /decofive février 2020 L ’usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé. Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indi quer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la p récision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies. Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats Partie A On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f (x) = (ax + b) e− 1 2 x , où a et b désignent deux nombres réels. On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée. Sa courbe représentative C f est tracée ci-dessous. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 Elle coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 1 et admetune tangente horizontale au point d’abscisse 1. 1. Donner les valeurs de f (0) et f ′(1). 2. Démontrer que, pour tout réel positif x, f ′(x) = ( − 1 2 ax − 1 2 b + a ) e − 1 2 x . 3. Déterminer les valeurs de a et b. Partie B Pour la suite de l’exercice, on admet que la fonction f est définie sur [0 ; +∞[ par : f (x) = (x + 1) e− 1 2 x . 1. a. Justifier que, pour tout réel x positif, f (x) = 2 ( 1 2 x e 1 2 x ) …