Sujet du bac 2019 de mathématiques (série S) — Métropole (S)

Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Métropole–La Réunion 21 juin 2019 /decofive Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats Partie A On considère la fonction f définie sur l’ensemble R des nombres réels par : f (x) = 7 2 − 1 2 ( ex + e−x ) 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. b. Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; +∞[. c. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet, sur l’intervalle [0 ; +∞[, une unique solution, que l’on note α. 2. En remarquant que, pour tout réel x, f (−x) = f (x), justifier que l’équation f (x) = 0 admet exactement deux solutions dans R et qu’elles sont opposées. Partie B Les serres en forme de tunnel sont fréquemment utilisées pour la culture des plantes frag iles ; elles limitent les effets des intempéries ou des variations de tem pérature. Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métall iques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique. Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1 mètre. L a fonction f et le réel α sont définis dans la partie A. Dans la suite de l’exercice, on modélise un arceau de serre p ar la courbe C de la fonction f sur l’intervalle [ −α ; +α]. On a représenté ci-dessous la courbe C sur l’intervalle [ −α ; +α]. 1 2 3−1−2−3 1 2 3 hauteur C On admettra que la courbe C admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie. Baccalauréat S A. P. M. E. P. 1. Calculer la hauteur d’un arceau. 2. a. Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbeC sur l’intervalle [0 ; α]. On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l’int égrale : I = ∫ α 0 …