Sujet du bac 2018 de mathématiques (série S) — Nouvelle-Calédonie (session de remplacement) (S)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat S – Nouvelle Calédonie /decofive 27 novembre 2018 Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats Soient f et g les fonctions définies sur ]0 ; +∞[ par f (x) = e −x et g (x) = 1 x2 e − 1 x . On admet que f et g sont dérivables sur ]0 ; +∞[. On note f ′ et g ′ leurs fonctions dérivées res- pectives. Les représentations graphiques de f et g dans un repère orthogonal, nommées respectivement C f et Cg sont données ci-dessous : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 1 0 1 C f Cg Partie A – Conjectures graphiques Dans chacune des questions de cette partie, aucune explicat ion n’est demandée. 1. Conjecturer graphiquement une solution de l’équation f (x) = g (x) sur ]0 ; +∞[. 2. Conjecturer graphiquement une solution de l’équation g ′(x) = 0 sur ]0 ; +∞[. Partie B – Étude de la fonction g 1. Calculer la limite de g (x) quand x tend vers +∞. 2. On admet que la fonction g est strictement positive sur ]0 ; +∞[. Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par h(x) = ln ( g (x) ) . a. Démontrer que, pour tout nombre réel x strictement positif, h(x) = −1 − 2x ln x x . Baccalauréat S A. P. M. E. P. b. Calculer la limite de h(x) quand x tend vers 0. c. En déduire la limite de g (x) quand x tend vers 0. 3. Démontrer que, pour tout nombre réel x strictement positif, g ′(x) = e − 1 x ( 1 − 2x ) x4 . 4. En déduire les variations de la fonction g sur ]0 ; +∞[. Partie C – Aire des deux domaines compris entre les courbes C f et Cg …