Sujet du bac 2018 de mathématiques (série S) — Métropole (S)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat S Métropole–La Réunion 22 juin 2018 /decofive Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé. On a représenté ci-dessous la courbe d’équation : y = 1 2 ( ex + e−x − 2 ) . Cette courbe est appelée une « chaînette ». On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deu x points de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trai t plein. On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette d élimité par les points M et M ′ comme indiqué sur le graphique. −2 x−x largeur hauteur M ( x ; 1 2 (ex + e−x − 2) ) M ′ Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles s ur la courbe du point M d’abscisse x stricte- ment positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit ég ale à sa hauteur. 1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des s olutions strictement positives de l’équation (E ) : ex + e−x − 4x − 2 = 0. 2. On note f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (x) = ex + e−x − 4x − 2. a. Vérifier que pour tout x > 0, f (x) = x ( ex x − 4 ) + e−x − 2. b. Déterminer limx→+∞ f (x). 3. a. On note f ′ la fonction dérivée de la fonctionf . Calculer f ′(x), où x appartient à l’intervalle [0 ; +∞[. b. Montrer que l’équation f ′(x) = 0 équivaut à l’équation : (ex )2 − 4ex − 1 = 0. c. En posant X = ex , montrer que l’équation f ′(x) = 0 admet pour …