Sujet du bac 2018 de mathématiques (série S) — Métropole (S)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat S Métropole–La Réunion 13 septembre 2018 /decofive Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 1er janvier 2000 et le 1er jan- vier 2010 afin d’évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe. Au 1er janvier 2000, un ménage sur huit était équipé d’une connexio n internet fixe et, au 1 er janvier 2010, 64 % des ménages l’étaient. Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la f onction g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : g (t ) = 1 1 + ke−at , où k et a sont deux constantes réelles positives et la variable t désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le 1er janvier 2000. 1. Déterminer les valeurs exactes de k et de a pour que g (0) = 1 8 et g (10) = 64 100 . 2. Dans la suite, on prendra k = 7 et a = 0, 25. La fonction g est donc définie par : g (t ) = 1 1 + 7e− ( t 4 ) . a. Montrer que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[. b. Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu’un jour, au mo ins 99 % des ménages de cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe ? Ju stifier la réponse. 3. a. Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue pa r le modèle, équipés d’une connexion internet fixe au 1 er janvier 2018. b. Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certa ins statisticiens pensent que la modélisation par la fonction g de l’évolution de la proportion de ménages possé- dant une connexion internet fixe doit être remise en cause. Au début de l’année 2018 un sondage a été effectué. Sur 1 000 fo yers, 880 étaient équipés …