Sujet du bac 2018 de mathématiques (série S) — Asie (S)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat S – Asie 21 juin 2018 /decofive EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Une ferme aquatique exploite une population de crevettes qu i évolue en fonction de la reproduction naturelle et des prélèvements effectués. La masse initiale de celte population de crevettes est estim ée à 100 tonnes. Compte tenu des conditions de reproduction et de prélèvemen t, on modélise la masse de la popula- tion de crevettes, exprimée en tonne, en fonction du temps, e xprimé en semaine, par la fonction fp , définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : fp (t ) = 100p 1 − (1 − p)e−pt où p est un paramètre strictement compris entre 0 et 1 et qui dépen d des différentes conditions de vie et d’exploitation des crevettes. 1. Cohérence du modèle a. Calculer fp (0). b. On rappelle que 0 < p < 1. Démontrer que pour tout nombre réel t /greaterorequalslant0, 1 − (1 − p)e−pt /greaterorequalslantp. c. En déduire que pour tout nombre réel t /greaterorequalslant0, 0 < fp (t ) ⩽ 100. 2. Étude de l’évolution lorsque p = 0,9 Dans cette question, on prend p = 0,9 et on étudie la fonction f0,9 définie sur [0 ; +∞[ par : f0,9(t ) = 90 1 − 0,1e−0,9t . a. Déterminer les variations de la fonction f0,9. b. Démontrer pour tout nombre réel t /greaterorequalslant0, f0,9(t ) /greaterorequalslant90. c. Interpréter les résultats des questions 2. a. et 2. b. dans le contexte. 3. Retour au cas général On rappelle que 0 < p < 1. Exprimer en fonction de p la limite de fp lorsque t tend vers +∞. 4. Dans cette question, on prend p = 1 2 . a. Montrer que la fonction H définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : H (t ) = 100 ln ( 2 − e− t 2 ) + 50t …