Sujet du bac 2018 de mathématiques (série S) — Amérique du Nord (S)

Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Amérique du Nord 29 mai 2018 /decofive Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats On étudie certaines caractéristiques d’un supermarché d’u ne petite ville. Partie A - Démonstration préliminaire Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de para mètre 0, 2. On rappelle que l’espérance de la variable aléatoire X , notée E (X ), est égale à : limx→+∞ ∫ x 0 0, 2t e−0,2t dt . Le but de cette partie est de démontrer que E (X ) = 5. 1. On note g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par g (t ) = 0, 2t e−0,2t . On définit la fonction G sur l’intervalle [0 ; +∞[ par G(t ) = (−t − 5)e−0,2t . Vérifier que G est une primitive de g sur l’intervalle [0 ; +∞[. 2. En déduire que la valeur exacte de E (X ) est 5. Indication : on pourra utiliser , sans le démontrer , le résultat suivant : limx→+∞ xe−0,2x = 0. Partie B - Étude de la durée de présence d’un client dans le supermarché Une étude commandée par le gérant du supermarché permet de mo déliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au h asard par une variable aléatoire T . Cette variable T suit une loi normale d’espérance 40 minutes et d’écart type u n réel positif noté σ. Grâce à cette étude, on estime que P (T < 10) = 0, 067. 1. Déterminer une valeur arrondie du réel σ à la seconde près. 2. Dans cette question, on prend σ = 20 minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d’une heure dans le supermarché ? Partie C - Durée d’attente pour le paiement Ce supermarché laisse le choix au client d’utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou bien de …