Sujet du bac 2017 de mathématiques (série S) — Métropole (S)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat S Métropole /decofive 21 juin 2017 EXERCICE 1 7 points Commun à tous les candidats Partie A On considère la fonction h définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : h(x) = xe−x . 1. Déterminer la limite de la fonction h en +∞. 2. Étudier les variations de la fonction h sur l’intervalle [0 ; +∞[ et dresser son tableau de variations. 3. L ’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction h. a. Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[, on a : h(x) = e−x − h′(x) où h′ désigne la fonction dérivée de h. b. Déterminer une primitive sur l’intervalle [0 ; +∞[ de la fonction x /mapstochar− →e−x . c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la f onction h sur l’intervalle [0 ; +∞[. Partie B On définit les fonctions f et g sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (x) = xe−x + ln(x + 1) et g (x) = ln(x + 1). On note C f et Cg les représentations graphiques respectives des fonctions f et g dans un repère orthonormé. Ces deux courbes sont tracées en annexe page 8. Cette annexe est à rendre avec la copie. 1. Pour un nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[, on appelle M le point de coordonnées (x ; f (x)) et N le point de coordonnées ( x ; g (x)) : M et N sont donc les points d’abscisse x appartenant respectivement aux courbes C f et Cg . a. Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance M N est maximale et donner cette distance maximale. b. Placer sur le graphique fourni en annexe page 8 les points M et N cor- respondant à la valeur maximale de M N. 2. Soit λ un réel appartenant à l’intervalle [0 …