Sujet du bac 2017 de mathématiques (série S) — Amérique du Sud (session de remplacement) (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Amérique du Sud /decofive 21 novembre 2017 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvell es confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d’eau. Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doiv ent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bon- bons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriqu er au moins 80 avec 1 litre de pâte liquide au chocolat. Partie A : modélisation par une fonction Le demi contour de la face supérieure du palet sera modélisé p ar une portion de la courbe de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par : f (x) = x2 − 2x − 2 − 3 lnx x . La représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous. 0 −1 −2 −3 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 Le repère est orthogonal d’unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées. 1. Soit ϕ la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : ϕ(x) = x2 − 1 + 3 lnx. a. Calculer ϕ(1) et la limite de ϕ en 0. b. Étudier les variations de ϕ sur ]0 ; +∞[. En déduire le signe de ϕ(x) selon les valeurs de x. 2. a. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Baccalauréat S A. P. M. E. P. b. Montrer que sur ]0 ; +∞[ : f ′(x) = ϕ(x) x2 . En déduire le tableau de variation de f . c. Prouver que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur ]0 ; 1]. Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de α à 10−2 près. On admettra que l’équation f (x) = 0 a également une unique solution β …