Sujet du bac 2016 de mathématiques (série S) — Nouvelle-Calédonie (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2017 /decofive EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie et dérivable sur [0 ; +∞[ par f (x) = xe−x et on note C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Partie A 1. Justifier toutes les informations du tableau de variations d e f donné ci-dessous. x 0 1 +∞ 1 e f (x) 0 0 2. Soit F la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ par F (x) = (−x − 1)e−x . Démontrer que la fonction F est une primitive de f sur [0 ; +∞[. Partie B Soit a un nombre réel tel que 0 < a < 1. On considère la droite Da d’équation y = ax et M le point d’intersection de la droite Da avec la courbe C f . On note xM l’abscisse du point M. On note H (a) l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur l e graphique ci-dessous, c’est-à-dire du domaine situé sous la courbe C f au-dessus de la droite Da et entre les droites d’équa- tion x = 0 et x = xM . Le but de cette partie est d’établir l’existence et l’unicit é de la valeur de a telle que H (a) = 0, 5 puis d’étudier un algorithme. Baccalauréat S A. P. M. E. P. 0,1 1 Da C f M 1 e 1. Prouver que la droite Da et la courbe C f ont un unique point d’intersection M distinct de l’origine. On admet dans la suite de l’exercice que le point M a pour abscisse xM = − ln a et que la courbe C f est située au-dessus de la droite Da sur l’intervalle [0 ; − ln(a)]. 2. Montrer que H (a) = a ln(a) − 1 2 a(ln(a))2 + 1 − a. 3. …