Sujet du bac 2016 de mathématiques (série S) — Nouvelle-Calédonie (session de remplacement) (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2016 /decofive EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f (x) = xe−x − 0, 1. 1. Déterminer la limite de f en +∞. 2. Étudier les variations de f sur [0 ; +∞[ et dresser le tableau de variations. 3. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution notée α sur l’intervalle [0 ; 1]. On admet l’existence du nombre réel strictement positif β tel que α < β et f (β) = 0. On note C la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [α ; β] dans un repère orthogonal et C ′ la courbe symétrique de C par rapport à l’axe des abscisses. L ’unité sur chaque axe représente 5 mètres. Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes. 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 0 −0,1 −0,2 0,1 0,2 0,3 0 −0,1 −0,2 −0,3 x y C C ′ 4. Démontrer que la fonction F , définie sur l’intervalle [ α ; β] par F (x) = −(x + 1)e−x − 0, 1x est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [ α ; β]. 5. Calculer, en unités d’aire, une valeur arrondie à 0, 01 près d e l’aire du domaine compris entre les courbes C et C ′. On utilisera les valeurs arrondies à 0, 001 près suivantes : α ≈ 0, 112 et β ≈ 3, 577. 6. Sachant que l’on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, calculer le nombre de plants de tulipes nécessaire à la réalisation de ce massif. Baccalauréat S A. P. M. E. P. EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats La société « …