Sujet du bac 2016 de mathématiques (série S) — Antilles-Guyane (S)

/decofourBaccalauréat S (spécialité) Antilles-Guyane septembre 2016 /decofive EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O ; − →ı , − → ) . Pour tout entier natureln, on considère la fonction fn définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels R par fn (x) = e−(n−1)x 1 + ex . On désigne par Cn la courbe représentative de fn dans le repère ( O ; − →ı , − → ) . On a représenté ci-dessous les courbes Cn pour différentes valeurs de n. Soit la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par : un = ∫ 1 0 fn (x) dx. 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1−0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 C0 C1 C2 C3 C4 C10C50 Partie A - Étude graphique 1. Donner une interprétation graphique de un . 2. Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite (un ) ? 3. Proposer, à l’aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de u4 d’ampli- tude 0, 05. Partie B - Étude théorique 1. Montrer que u0 = ln ( 1+e 2 ) . 2. Montrer que u0 + u1 = 1 puis en déduire u1. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, un /greaterorequalslant0. 4. On pose pour tout entier naturel n et pour tout x réel, dn (x) = fn+1(x) − fn (x). a. Montrer que, pour tout nombre réel x, dn (x) = e−nx 1−ex 1+ex . b. Étudier le signe de la fonction dn sur l’intervalle [0 ; 1]. Baccalauréat S A. P. M. E. P. 5. En déduire que la suite (un ) est convergente. 6. On note ℓ la limite de la suite …