Sujet du bac 2016 de mathématiques (série S) — Amérique du Sud (session de remplacement) (S)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016 /decofive EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Les courbes C f et Cg données en annexe 1 sont les représentations graphiques, da ns un repère or- thonormé ( O ; − →ı , − → ) , de deux fonctions f et g définies sur [0 ; +∞[. On considère les points A(0,5 ; 1) et B(0 ; −1) dans le repère ( O ; − →ı , − → ) . On sait que O appartient à C f et que la droite (OA) est tangente à C f au point O. 1. On suppose que la fonction f s’écrit sous la forme f (x) = (ax + b)e−x2 où a et b sont des réels. Déterminer les valeurs exactes des réels a et b, en détaillant la démarche. Désormais, on considère que f (x) = 2xe−x 2 pour tout x appartenant à [0 ; +∞[ 2. a. On admettra que, pour tout réel x strictement positif, f (x) = 2 x × x2 ex2 . Calculer limx→+∞ f (x). b. Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonc tion f sur [0 ; +∞[. 3. La fonction g dont la courbe représentative Cg passe par le point B(0 ; −1) est une primitive de la fonction f sur [0 ; +∞[. a. Déterminer l’expression de g (x). b. Soit m un réel strictement positif. Calculer Im = ∫ m 0 f (t ) dt en fonction de m. c. Déterminer limm→+∞ Im . 4. a. Justifier que f est une fonction densité de probabilité sur [0 ; +∞[. b. Soit X une variable aléatoire continue qui admet la fonction f comme densité de proba- bilité. Justifier que, pour tout réel x de [0 ; +∞[, P (X ⩽ x) = g (x) + 1. c. En déduire la valeur …