Sujet du bac 2015 de mathématiques (série S) — Pondichéry (S)

/decofourBaccalauréat S Pondichéry 17 avril 2015 /decofive EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Partie A Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 3 1 + e−2x . Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal ( O, − →ı , − → ) , la courbe repré- sentative C de la fonction f et la droite ∆ d’équation y = 3. 0 1 2 3 4 -1 -2 1 2 3 0 1 0 1 − →ı − → C ∆ 1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur R. 2. Justifier que la droite ∆ est asymptote à la courbe C . 3. Démontrer que l’équation f (x) = 2, 999 admet une unique solution α sur R. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2. Partie B Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 3 − f (x). 1. Justifier que la fonction h est positive sur R. 2. On désigne par H la fonction définie sur R par H (x) = − 3 2 ln ( 1 + e−2x) . Démontrer que H est une primitive de h sur R. 3. Soit a un réel strictement positif. a. Donner une interprétation graphique de l’intégrale ∫ a 0 h(x) dx. Baccalauréat S A. P. M. E. P. b. Démontrer que ∫ a 0 h(x) dx = 3 2 ln ( 2 1 + e−2a ) . c. On note D l’ensemble des points M (x ; y) du plan défini par{ x /greaterorequalslant0 f (x) ⩽ y ⩽ 3 Déterminer l’aire, en unité d’aire, du domaine D.* EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats Partie A Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la rela- tion un+1 = au n + b (a et b réels non nuls tels que a ⁄=1). …