Sujet du bac 2015 de mathématiques (série S) — Polynésie (S)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat S (spécialité) Polynésie 9 septembre 2015 /decofive EXERCICE 1 7 points Commun à tous les candidats Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendant e. Partie A On rappelle que la partie réelle d’un nombre complexe z est notée ℜ(z). 1. Déterminer l’écriture exponentielle du nombre complexe u = 1 − i. 2. Déterminer, pour tout réel θ, la forme algébrique et l’écriture exponentielle du nombre complexe eiθ(1 − i). 3. Déduire des questions précédentes que, pour tout réel θ, cos(θ) + sin(θ) = /radicallow 2 cos ( θ − π 4 ) . Partie B Dans cette partie, on admet que, pour tout réel θ, cos(θ) + sin(θ) = /radicallow 2 cos ( θ − π 4 ) . On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (x) = e−x cos(x) et g (x) = e−x. On définit la fonction h sur [0 ; +∞[ par h(x) = g (x) − f (x). Les représentations graphiques C f , Cg et Ch des fonctions f , g et h sont données, en annexe, dans un repère orthogonal. 1. Conjecturer : a. les limites des fonctions f et g en +∞ ; b. la position relative de C f par rapport à Cg ; c. la valeur de l’abscissex pour laquelle l’écart entre les deux courbesC f et Cg est maximal. 2. Justifier que Cg est située au-dessus de C f sur l’intervalle [0 ; +∞[. 3. Démontrer que la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale aux courbes C f et Cg . 4. a. On note h′ la fonction dérivée de la fonction h sur l’intervalle [0 ; +∞[. Démontrer que, pour tout x de l’intervalle [0 ; +∞[, h′(x) = e−x [ /radicallow 2 cos ( x − π 4 ) − 1 ] . b. Justifier que, sur …