Sujet du bac 2015 de mathématiques (série S) — Métropole (S)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat S Métropole 22 juin 2015 /decofive EXERCICE 1 6 POINTS Commun à tous les candidats Les résultats des probabilités seront arrondis à 10−3 près. Partie 1 1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de para mètre λ, où λ est un réel strictement positif donné. On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = λe−λx. a. Soit c et d deux réels tels que 0 ⩽ c < d . Démontrer que la probabilité P (c ⩽ X ⩽ d ) vérifie P (c ⩽ X ⩽ d ) = e−λc − e−λd . b. Déterminer une valeur de λ à 10−3 près de telle sorte que la probabilité P (X > 20) soit égale à 0,05. c. Donner l’espérance de la variable aléatoire X Dans la suite de l’exercice on prend λ = 0, 15. d. Calculer P (10 ⩽ X ⩽ 20). e. Calculer la probabilité de l’évènement ( X > 18). 2. Soit Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 1 6 et d’écart type 1, 95. a. Calculer la probabilité de l’évènement (20 ⩽ Y ⩽ 21). b. Calculer la probabilité de l’évènement (Y < 11) ∪ (Y > 21). Partie 2 Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offr ant des bons d’achat à ses clients pri- vilégiés. Chacun d’eux reçoit un bon d’achat de couleur vert e ou rouge sur lequel est inscrit un montant. Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir, dans chaq ue magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts. Les bons d’achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0, 067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités n on précisées ici. De façon analogue, …