Sujet du bac 2015 de mathématiques (série S) — Antilles-Guyane (S)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat S Antilles-Guyane 22 juin 2015 /decofive EXERCICE 1 6 POINTS Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = ln x. Pour tout réel a strictement positif, on définit sur ]0 ; +∞[ la fonction ga par ga(x) = ax 2. On note C la courbe représentative de la fonction f et Γa celle de la fonction ga dans un repère du plan. Le but de l’exercice est d’étudier l’interse ction des courbes C et Γa suivant les valeurs du réel strictement positif a. Partie A On a construit en annexe 1 (à rendre avec la copie) les courbes C , Γ0,05, Γ0,1, Γ0,19 et Γ0,4. 1. Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune jus tification n’est deman- dée. 2. Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d’intersec- tion de C et Γa suivant les valeurs (à préciser) du réel a. Partie B Pour un réel a strictement positif, on considère la fonction ha définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par ha(x) = ln x − ax 2. 1. Justifier que x est l’abscisse d’un point M appartenant à l’intersection de C et Γa si et seulement si ha(x) = 0. 2. a. On admet que la fonction ha est dérivable sur ]0 ; +∞[, et on note h′ a la dérivée de la fonction ha sur cet intervalle. Le tableau de variation de la fonction ha est donné ci-dessous. Justifier, par le calcul, le signe de h′ a(x) pour x appartenant à ]0 ; +∞[. x 0 1/radicallow 2a +∞ h′ a(x) + 0 − ha(x) −∞ −1−ln(2a) 2 b. Rappeler la limite de ln x x en +∞. En déduire la limite de la fonction ha en +∞. On ne demande pas de justifier la limite de ha en 0. Baccalauréat S A. P. M. E. …