Sujet du bac 2015 de mathématiques (série S) — Antilles-Guyane (S)

Durée : 4 heures Baccalauréat S Antilles-Guyane 9 septembre 2015 EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction fn définie et dérivable sur l’ensemble R des nombres réels par fn(x) = x2e−2nx . On note Cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthogonal. On définit, pour tout entier naturel n non nul, In = ∫ 1 0 fn(x) dx. Partie A : Étude de la fonction f1 1. La fonction f1 est définie sur R par f1(x) = x2e−2x. On admet que f1 est dérivable sur R et on note f ′ 1 sa dérivée. a. Justifier que pour tout réel x, f ′ 1(x) = 2xe−2x(1 − x). b. Étudier les variations de la fonction f1 sur R. c. Déterminer la limite de f1 en −∞. d. Vérifier que pour tout réel x, f1(x) = ( x ex ) 2 . En déduire la limite de f1 en +∞. 2. En utilisant un système de calcul formel, on trouve qu’une primitive F1 de la fonction f1 est donnée par F1(x) = −e−2x ( x2 2 + x 2 + 1 4 ) . En déduire la valeur exacte de I1. Partie B : Étude de la suite (In) 1. Soit n un entier naturel non nul. a. Interpréter graphiquement la quantité In. b. Émettre alors une conjecture sur le sens de variation et sur l a limite éventuelle de la suite (In). Expliciter la démarche qui a mené à cette conjecture. 2. a. Justifier que, pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel x appartenant à [0 ; 1], fn+1(x) = e−2x fn(x). b. En déduire, pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel x appartenant à [0 ; 1], fn+1(x) ⩽ fn(x). Baccalauréat S A. P. M. E. P. c. Déterminer alors le sens de variation …