Sujet du bac 2015 de mathématiques (série S) — Amérique du Sud (session de remplacement) (S)

/decofourBaccalauréat S Amérique du Sud 24 novembre 2015 /decofive EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Partie A Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( O, − →ı , − → ) , on désigne par Cu la courbe représentative de la fonction u définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : u(x) = a + b x + c x2 où a, b et c sont des réels fixés. On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe Cu et la droite D d’équation y = 1. A B O− →ı − → Cu D On précise que la courbe Cu passe par les points A(1 ; 0) et B(4 ; 0) et que l’axe des ordonné es et la droite D sont asymptotes à la courbe Cu. 1. Donner les valeurs de u(1) et u(4). 2. Donner limx→+∞ u(x). En déduire la valeur de a. 3. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, u(x) = x2 − 5x + 4 x2 . Partie B Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = x − 5 lnx − 4 x . 1. Déterminer la limite de f (x) lorsque x tend vers 0. On pourra utiliser sans démonstration le fait que lim x→0 x ln x = 0. 2. Déterminer la limite de f (x) lorsque x tend vers +∞. Baccalauréat S A. P. M. E. P. 3. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, f ′(x) = u(x). En déduire le tableau de variation de la fonction f en précisant les limites et les valeurs particulières. Partie C 1. Déterminer l’aire A , exprimée en unité d’aire, du domaine hachuré sur le graphiq ue de la partie A. 2. Pour tout réel λ supérieur ou égal à 4, on note Aλ l’aire, exprimée en unité d’aire, du do- maine formé par les points M de …