Sujet du bac 2014 de mathématiques (série S) — Nouvelle-Calédonie (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S (obligatoire) Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015 /decofive EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Le plan est rapporté à un repère orthogonal ( O, − →ı , − → ) . Soit a un nombre réel strictement positif. On note ∆a la droite d’équation y = ax et Γ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal ( O, − →ı , − → ) . Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d’ intersection de Γ et ∆a suivant les valeurs de a. Pour cela. on considère la fonction fa définie pour tout nombre réel x par fa (x) = ex − ax . On admet pour tout réel a que la fonction fa est dérivable sur l’ensemble R des nombres réels. 1. Étude du cas particulier a = 2 La fonction f2 est donc définie pour tout x réel par f2(x) = ex − 2x. a. Étudier les variations de la fonction f2 sur R et dresser son tableau de variations sur R (on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l’en semble de définition. b. En déduire que Γ et ∆2 n’ont pas de point d’intersection. 2. Étude du cas général où a est un réel strictement positif a. Déterminer les limites de la fonction fa en +∞ et en −∞. b. Étudier les variations de la fonction fa sur R. Montrer alors que le minimum sur R de la fonction fa est a − a ln a. c. Étudier le signe de a − a ln a suivant les valeurs du nombre réel strictement positif a. d. Déterminer selon les valeurs du réel a le nombre de points communs à Γ et ∆a.* EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont ut ilisées pour …