Sujet du bac 2014 de mathématiques (série S) — Métropole (S)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat S Métropole 19 juin 2014 /decofive EXERCICE 1 5 POINTS Commun à tous les candidats Partie A Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne par C1 la courbe représentative de la fonction f1 définie sur R par : f1(x) = x + e−x. 1. Justifier que C1 passe par le point A de coordonnées (0 ; 1). 2. Déterminer le tableau de variation de la fonction f1. On précisera les limites de f1 en +∞ et en −∞. Partie B L ’objet de cette partie est d’étudier la suite(In) définie sur N par : In = ∫ 1 0 ( x + e−nx ) dx. 1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( O, − →ı , − → ) , pour tout entier naturel n, on note Cn la courbe représentative de la fonction fn définie sur R par fn(x) = x + e−nx . Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe Cn pour plusieurs valeurs de l’entier n et la droite D d’équation x = 1. Baccalauréat S 19 juin 2014 A. P. M. E. P. 0 1 1 D O A C1 C2 C3 C4 C6 C15 C60 − →ı − → a. Interpréter géométriquement l’intégrale In. b. En utilisant cette interprétation, formuler une conjectur e sur le sens de variation de la suite (In) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesqu els on s’appuie pour conjecturer. 2. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, In+1 − In = ∫ 1 0 e−(n+1)x ( 1 − ex) dx. En déduire le signe de In+1 − In puis démontrer que la suite (In) est convergente. 3. Déterminer l’expression de In en fonction de n et déterminer la limite de la suite (In).* EXERCICE 2 5 POINTS Commun à tous les candidats Les parties A et B peuvent être traitées …