Sujet du bac 2014 de mathématiques (série S) — Métropole (S)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat S Métropole–La Réunion 11 septembre 2014 /decofive EXERCICE 1 5 POINTS Commun à tous les candidats Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère ortho normé ( O, − →ı , − → ) , une courbe C et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respe ctives (0 ; 1) et (−1 ; 3). A B O − →ı−1 3 − → C On désigne par f la fonction dérivable sur R dont la courbe représentative est C . On suppose, de plus, qu’il existe un réel a tel que pour tout réel x, f (x) = x + 1 + ax e−x2 . 1. a. Justifier que la courbe C passe par le point A. b. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB). c. Démontrer que pour tout réel x, f ′(x) = 1 − a ( 2x2 − 1 ) e−x2 . d. On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe C au point A. Déterminer la valeur du réel a. 2. D’après la question précédente, pour tout réel x, f (x) = x + 1 − 3xe−x2 et f ′(x) = 1 + 3 ( 2x2 − 1 ) e−x2 . a. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle ] − 1 ; 0], f (x) > 0. b. Démontrer que pour tout réel x inférieur ou égal à −1, f ′(x) > 0. Baccalauréat S 11 septembre 2014 A. P. M. E. P. c. Démontrer qu’il existe un unique réel c de l’intervalle [ − 3 2 ; −1 ] tel que f (c) = 0. Justifier que c < − 3 2 + 2 · 10−2. 3. On désigne par A l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine défini par : c ⩽ x ⩽ 0 et 0 ⩽ y ⩽ f (x). a. Écrire A …