Sujet du bac 2013 de mathématiques (série S) — Pondichéry (S)

/decofourBaccalauréat S Pondichéry 16 avril 2013 /decofive EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Partie 1 On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe 1 représente cette évolution. La haut eur est en mètres et le temps en jours. On décide de modéliser cette croissance par une fonction log istique du type : h(t ) = a 1 + be−0,04t où a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps exprimée en jours et h(t ) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. On sait qu’initialement, pour t = 0, le plant mesure 0, 1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m. Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h corresponde à la croissance du plant de maïs étudié. Partie 2 On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f définie sur [0 ; 250] par f (t ) = 2 1 + 19e−0,04t 1. Déterminer f ′(t ) en fonction de t ( f ′ désignant la fonction dérivée de la fonction f ). En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 250]. 2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteig ne une hauteur supé- rieure à 1, 5 m. 3. a. Vérifier que pour tout réelt appartenant à l’intervalle [0 ; 250] on af (t ) = 2e0,04t e0,04t + 19 . Montrer que la fonctionF définie sur l’intervalle [0 ; 250] parF (t ) = 50 ln ( e0,04t + 19 ) est une primitive de la fonction f . b. Déterminer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [50 ; 100]. En donner une valeur approchée à 10 −2 près et interpréter ce résultat. 4. On s’intéresse à la vitesse de croissance du plant …