Sujet du bac 2013 de mathématiques (série S) — Nouvelle-Calédonie (session de remplacement) (S)

A. P . M. E. P . Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Nouvelle-Calédonie /decofive 14 novembre 2013 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Soit f la fonction dérivable, définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = ex + 1 x . 1. Étude d’une fonction auxiliaire a. Soit la fonction g dérivable, définie sur [0 ; +∞[ par g (x) = x2ex − 1. Étudier le sens de variation de la fonction g . b. Démontrer qu’il existe un unique réel a appartenant à [0 ; +∞[ tel que g (a) = 0. Démontrer que a appartient à l’intervalle [0,703 ; 0,704[. c. Déterminer le signe de g (x) sur [0 ; +∞[. 2. Étude de la fonction f a. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. b. On note f ′ la fonction dérivée de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[. Démontrer que pour tout réel strictement positif x, f ′(x) = g (x) x2 . c. En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation sur l’intervalle ]0 ; +∞[. d. Démontrer que la fonction f admet pour minimum le nombre réel m = 1 a2 + 1 a . e. Justifier que 3, 43 < m < 3, 45. EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats Soient deux suites (un) et (vn) définies par u0 = 2 et v0 = 10 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + vn 3 et vn+1 = un + 3vn 4 . PARTIE A On considère l’algorithme suivant : Baccalauréat S A. P. M. E. P. Variables : N est un entier U ,V,W sont des réels K est un entier Début : Affecter 0 à K Affecter 2 à U Affecter 10 à V Saisir N Tant que K < N Affecter K + 1 à K …