Sujet du bac 2013 de mathématiques (série S) — Métropole (S)

/decofourBaccalauréat S Métropole 12 septembre 2013 /decofive EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère ( O, − →ı , − → ) . Partie A Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe C et trois autres courbes C1, C2, C3 avec la tangente en leur point d’abscisse 0. O − →ı − → C O − →ı − → d1 C1 O − →ı − → d2 C2 O − →ı − → d3 C3 1. Donner par lecture graphique, le signe de f (x) selon les valeurs de x. 2. On désigne par F une primitive de la fonction f sur R. a. À l’aide de la courbe C , déterminer F ′(0) et F ′(−2). b. L ’une des courbesC1, C2, C3 est la courbe représentative de la fonction F . Déterminer laquelle en justifiant l’élimination des deux au tres. Partie B Dans cette partie, on admet que la fonction f évoquée dans la partie A est la fonction définie sur R par f (x) = (x + 2)e 1 2 x . Baccalauréat S A. P. M. E. P. 1. L ’observation de la courbeC permet de conjecturer que la fonction f admet un mini- mum. a. Démontrer que pour tout réel x, f ′(x) = 1 2 (x + 4)e 1 2 x. b. En déduire une validation de la conjecture précédente. 2. On pose I = ∫ 1 0 f (x) dx. a. Interpréter géométriquement le réel I . b. Soient u et v les fonctions définies sur R par u(x) = x et v(x) = e 1 2 x . Vérifier que f = 2 ( u′v + uv ′) . c. En déduire la valeur exacte de l’intégrale I . 3. On donne l’algorithme ci-dessous. Variables : k …