Sujet du bac 2013 de mathématiques (série S) — Antilles-Guyane (S)

Durée : 4 heures Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2013 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Partie A Restitution organisée de connaissances Soit ∆ une droite de vecteur directeur − →v et soit P un plan. On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la dr oite D 1 de vecteur directeur− →u1 et la droite D2 de vecteur directeur − →u2 . Montrer que ∆ est orthogonale à toute droite de P si et seulement si ∆ est orthogonale à D 1 et à D2. Partie B Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les trois points A(0 ; −1 ; 1), B(4 ; −3 ; 0) et C( −1 ; −2 ; −1). On appelle P le plan passant par A, B et C. On appelle ∆ la droite ayant pour représentation paramétrique    x = t y = 3t − 1 z = − 2t + 8 avec t appartenant à R. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle es t vraie ou fausse et justifier la réponse. 1. Affirmation 1 : ∆ est orthogonale à toute droite du plan P . 2. Affirmation 2 : les droites ∆ et (AB) sont coplanaires. 3. Affirmation 3 : Le plan P a pour équation cartésienne x + 3y − 2z + 5 = 0. 4. On appelle D la droite passant par l’origine et de vecteur dir ecteur − →u (11 ; −1 ; 4). Affirmation 4 : La droite D est strictement parallèle au plan d’équationx+3y −2z+5 = 0. EXERCICE 2 6 points Commun à tous les candidats Pour tout réel k strictement positif, on désigne par fk la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels R telle que : fk (x) = k xe−k x. On note Ck sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère ortho gonal ( O, − →ı , − …