Sujet du bac 2013 de mathématiques (série S) — Amérique du Sud (session de remplacement) (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Amérique du Sud /decofive 21 novembre 2013 Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats Partie A Soit f la fonction définie sur R par f (x) = xe1−x. 1. Vérifier que pour tout réel x, f (x) = e × x ex . 2. Déterminer la limite de la fonction f en −∞. 3. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. Interpréter graphiquement cette limite. 4. Déterminer la dérivée de la fonction f . 5. Étudier les variations de la fonction f sur R puis dresser le tableau de variation. Partie B Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions gn et hn définies sur R par : gn(x) = 1 + x + x2 + · · · +xn et hn(x) = 1 + 2x + · · · +nx n−1. 1. Vérifier que, pour tout réel x : (1 − x)gn (x) = 1 − xn+1. On obtient alors, pour tout réel x ⁄=1 : gn(x) = 1 − xn+1 1 − x . 2. Comparer les fonctions hn et g ′ n, g ′ n étant la dérivée de la fonction gn. En déduire que, pour tout réel x ⁄=1 : hn(x) = nx n+1 − (n + 1)xn + 1 (1 − x)2 . 3. Soit Sn = f (1) + f (2) + ... + f (n), f étant la fonction définie dans la partie A. En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de Sn puis sa limite quand n tend vers +∞. Exercice 2 4 points Commun à tous les candidats On considère le cube ABCDEFGH, d’arête de longueur 1, représ enté ci-dessous et on munit l’espace du repère orthonormé ( A ; − − →AB , − − →AD , − →AE ) . 1. Déterminer une représentation paramétrique de la …